Aralıklarda birleşim kesişim işlemleri örnekleri Test 2

1. A = [-3, 2) ve B = (0, 5] kümeleri veriliyor. A ∪ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) [-3, 5]
B) [-3, 5)
C) (-3, 5]
D) (0, 2)

Bu soruda, iki farklı aralık kümesinin birleşimini ($A \cup B$) bulmamız isteniyor. Aralık kümeleriyle işlem yaparken sayı doğrusunu hayal etmek veya çizmek, doğru sonuca ulaşmak için çok faydalıdır.

• Verilen Kümeleri Anlayalım:

  $A = [-3, 2)$: Bu küme, -3 dahil olmak üzere 2'ye kadar (2 hariç) tüm gerçek sayıları içerir. Yani, $-3 \le x < 2$ şeklindedir.

  $B = (0, 5]$: Bu küme, 0 hariç olmak üzere 5 dahil tüm gerçek sayıları içerir. Yani, $0 < x \le 5$ şeklindedir.

• Birleşim Kümesinin Tanımı:

  İki kümenin birleşimi ($A \cup B$), her iki kümedeki tüm elemanları içeren kümedir. Yani, $A$'da olan veya $B$'de olan (ya da her ikisinde de olan) tüm elemanları bir araya getiririz.

• Sayı Doğrusunda Görselleştirelim:

  $A$ kümesini sayı doğrusunda işaretlediğimizde, -3 noktasını kapalı (dolu) bir daire ile, 2 noktasını ise açık (boş) bir daire ile gösteririz ve bu iki nokta arasını tararız.

  $B$ kümesini sayı doğrusunda işaretlediğimizde, 0 noktasını açık (boş) bir daire ile, 5 noktasını ise kapalı (dolu) bir daire ile gösteririz ve bu iki nokta arasını tararız.

• Birleşim Kümesini Bulalım:

  Şimdi bu iki taralı bölgeyi birleştirelim. Sayı doğrusunda en soldan en sağa doğru ilerleyelim:

  $A$ kümesi -3'ten başlar. Bu, birleşim kümesinin başlangıç noktası olacaktır. -3, $A$ kümesine dahil olduğu için birleşim kümesine de dahil olacaktır.

  $A$ kümesi 2'ye kadar gider (2 hariç).

  $B$ kümesi 0'dan başlar (0 hariç) ve 5'e kadar gider (5 dahil).

  Gördüğümüz gibi, $A$ kümesi $[-3, 2)$ ve $B$ kümesi $(0, 5]$ birbirini tamamlar ve hatta bir miktar örtüşür (0 ile 2 arası). Bu durumda, iki aralık birleşerek tek bir büyük aralık oluşturur.

  Birleşim kümesi, en soldaki noktadan (yani -3'ten) başlayıp, en sağdaki noktaya (yani 5'e) kadar uzanacaktır.

  Başlangıç noktası: $A$ kümesinde -3 dahil olduğu için, birleşim kümesinde de -3 dahil olacaktır.

  Bitiş noktası: $B$ kümesinde 5 dahil olduğu için, birleşim kümesinde de 5 dahil olacaktır.

  Bu durumda, birleşim kümesi -3'ten başlayıp 5'te biten ve her iki ucu da içeren bir aralık olacaktır.

• Sonuç:

  Bu aralık, $[-3, 5]$ şeklinde gösterilir.

Cevap A seçeneğidir.