6. M = {x | x ≤ 0 veya x > 3, x ∈ R} ve N = {x | -1 < x < 4, x ∈ R} kümeleri veriliyor. M ∩ N kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (-1, 0] ∪ (3, 4)Bu soruyu çözmek için öncelikle verilen kümeleri aralık (interval) gösterimiyle ifade edelim. Daha sonra bu aralıkların kesişimini bulalım.
$M = \{x \mid x \le 0 \text{ veya } x > 3, x \in R\}$
Bu ifade, $x$'in $0$'a eşit veya küçük olduğu tüm gerçek sayıları ($-\infty, 0]$) ve $x$'in $3$'ten büyük olduğu tüm gerçek sayıları ($(3, \infty)$) kapsar. "Veya" bağlacı, bu iki aralığın birleşimini almamız gerektiğini gösterir.
Dolayısıyla, $M = (-\infty, 0] \cup (3, \infty)$ şeklinde yazılır.
$N = \{x \mid -1 < x < 4, x \in R\}$
Bu ifade, $x$'in $-1$'den büyük ve $4$'ten küçük olduğu tüm gerçek sayıları kapsar. Bu da açık aralık olarak $(-1, 4)$ şeklinde yazılır.
Dolayısıyla, $N = (-1, 4)$ şeklinde yazılır.
Kesişim ($M \cap N$), her iki kümede de bulunan ortak elemanları ifade eder. Yani, $M$ kümesinin aralıkları ile $N$ kümesinin aralığının kesişimini bulmalıyız.
$M \cap N = ((-\infty, 0] \cup (3, \infty)) \cap (-1, 4)$
Kesişimin birleşim üzerine dağılma özelliğini kullanarak bu ifadeyi iki parçaya ayırabiliriz:
$M \cap N = ((-\infty, 0] \cap (-1, 4)) \cup ((3, \infty) \cap (-1, 4))$
Bu, $x \le 0$ koşulu ile $-1 < x < 4$ koşulunun aynı anda sağlandığı aralıktır.
Sayı doğrusunda düşünürsek:
Bu iki aralığın ortak kısmı, $-1$'den büyük ve $0$'a eşit veya küçük olan sayılardır. Yani $(-1, 0]$.
Bu, $x > 3$ koşulu ile $-1 < x < 4$ koşulunun aynı anda sağlandığı aralıktır.
Sayı doğrusunda düşünürsek:
Bu iki aralığın ortak kısmı, $3$'ten büyük ve $4$'ten küçük olan sayılardır. Yani $(3, 4)$.
Bulduğumuz iki kesişim aralığını birleştirirsek:
$M \cap N = (-1, 0] \cup (3, 4)$
Bu sonuç, seçenek A ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
