Bir A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2^3 \times 3^2 \times 5 \) şeklindedir. Buna göre A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?
A) 12Sevgili öğrenciler, bu tür sorular asal çarpanlara ayırma konusunun temelini anlamak için harikadır. Bir sayının asal çarpanlarını bildiğimizde, o sayının kaç tane pozitif tam sayı böleni olduğunu kolayca bulabiliriz. Şimdi adım adım bu soruyu çözelim:
Soruda A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali bize verilmiş: $A = 2^3 \times 3^2 \times 5$.
Burada $2^3$ demek, 2 asal çarpanının 3. kuvveti. Yani 2'yi 3 kere çarpmışız ($2 \times 2 \times 2$).
Burada $3^2$ demek, 3 asal çarpanının 2. kuvveti. Yani 3'ü 2 kere çarpmışız ($3 \times 3$).
Burada $5$ demek, 5 asal çarpanının 1. kuvveti. ($5^1$ olarak düşünebiliriz.)
Bu kuvvetler (üsler), bir sayının bölenlerini oluştururken her bir asal çarpanı kaç farklı şekilde kullanabileceğimizi gösterir.
Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali $N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \dots \times p_k^{a_k}$ şeklinde ise, bu sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı, her bir asal çarpanın üssünü 1 artırıp bu artırılmış üsleri çarparak bulunur. Yani formül şöyledir:
Pozitif Tam Sayı Bölenlerinin Sayısı $= (a_1+1) \times (a_2+1) \times \dots \times (a_k+1)$
A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali $A = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$ şeklindedir.
Buradaki üsler (kuvvetler) şunlardır:
2 asal çarpanının üssü $a_1 = 3$
3 asal çarpanının üssü $a_2 = 2$
5 asal çarpanının üssü $a_3 = 1$
Şimdi bu üsleri formülde yerine koyalım:
Pozitif Tam Sayı Bölenlerinin Sayısı $= (3+1) \times (2+1) \times (1+1)$
Hesaplamayı adım adım yapalım:
İlk parantez: $(3+1) = 4$
İkinci parantez: $(2+1) = 3$
Üçüncü parantez: $(1+1) = 2$
Bu değerleri çarpalım:
$4 \times 3 \times 2 = 24$
Buna göre, A sayısının 24 tane pozitif tam sayı böleni vardır.
Cevap C seçeneğidir.
