Pozitif tam sayı bölenleri sayısı (PBS) nasıl bulunur Test 2

🎓 Pozitif tam sayı bölenleri sayısı (PBS) nasıl bulunur Test 2 - Ders Notu

Bu ders notu, bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını (PBS) bulma, bu bölenleri belirli özelliklere göre ayırma ve verilen bölen sayısına göre sayıların yapısını anlama gibi temel ve ileri düzey konuları kapsamaktadır.

📌 Asal Çarpanlara Ayırma: Her Şeyin Başlangıcı

Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmanın ilk adımı, sayıyı asal çarpanlarına ayırmaktır. Asal çarpanlara ayırma, bir sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaktır.

• 📝 Bir sayıyı en küçük asal sayıdan (2) başlayarak bölerek asal çarpanlarını buluruz.
• Örneğin, $72$ sayısını asal çarpanlarına ayıralım: $72 = 2 \cdot 36 = 2 \cdot 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$.
• Üslü ifade olarak yazarsak: $72 = 2^3 \cdot 3^2$.

💡 İpucu: Bu adım, tüm bölen hesaplamalarının temelidir. Doğru yapıldığından emin olun!

📌 Pozitif Tam Sayı Bölenleri Sayısı (PBS) Formülü

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırdıktan sonra, PBS'yi bulmak çok kolaydır.

• Eğer bir $N$ sayısı, $N = a^x \cdot b^y \cdot c^z$ şeklinde asal çarpanlarına ayrılmışsa (burada $a, b, c$ asal sayılar; $x, y, z$ ise pozitif tam sayılar), PBS formülü şöyledir:
• $PBS = (x+1) \cdot (y+1) \cdot (z+1)$. Yani, her asal çarpanın üssünü 1 artırıp birbiriyle çarparız.
• Örneğimizdeki $72 = 2^3 \cdot 3^2$ için PBS: $(3+1) \cdot (2+1) = 4 \cdot 3 = 12$. Demek ki $72$'nin $12$ tane pozitif tam sayı böleni vardır.

📌 Belirli Sayıda Böleni Olan Sayıları Bulma

Bazen bize bir sayının PBS'si verilir ve bu sayının en küçük veya en büyük değeri sorulur. Bu durumda formülü tersten kullanırız.

• Örneğin, PBS'si $6$ olan en küçük pozitif tam sayıyı bulalım.
• $6$ sayısını çarpanlarına ayırırız: $6 = 6$ veya $6 = 2 \cdot 3$.
• Eğer $PBS = 6$ ise, bir asal sayının üssü $5$ olabilir ($x+1=6 \implies x=5$). Yani sayı $p^5$ şeklinde olabilir. En küçük asal sayı $2$ olduğu için $2^5 = 32$.
• Eğer $PBS = 2 \cdot 3$ ise, iki farklı asal sayının üsleri $1$ ve $2$ olabilir ($x+1=2 \implies x=1$, $y+1=3 \implies y=2$). Yani sayı $p_1^1 \cdot p_2^2$ şeklinde olabilir.
• En küçük sayıyı bulmak için üssü büyük olana küçük asal sayıyı, üssü küçük olana bir sonraki küçük asal sayıyı veririz: $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.
• Bu durumda $32$ ve $12$ sayılarını karşılaştırırız. En küçük sayı $12$'dir.

⚠️ Dikkat: En küçük sayıyı bulmak için üssü büyük olan asal çarpana en küçük asal sayıyı (2), üssü küçük olan asal çarpana ise sıradaki en küçük asal sayıyı (3, 5, ...) vermelisiniz.

📌 Özel Bölen Türleri: Çift, Tek, Belirli Bir Sayının Katı ve Asal Olmayan Bölenler

Testlerde genellikle bölenleri belirli özelliklere göre ayırmanız istenir.

📌 Tek Bölenler ve Çift Bölenler

Bir sayının tek ve çift bölenlerini bulmak için asal çarpanlara ayırma önemlidir.

• Bir bölenin tek olması için asal çarpanları arasında $2$ olmaması gerekir.
• Örneğin, $N = 2^x \cdot 3^y \cdot 5^z$ olsun. Tek bölenler, $2^0$ çarpanını içeren bölenlerdir. Yani $2$'nin üssünü yok sayarız. Tek bölen sayısı: $(y+1) \cdot (z+1)$.
• Çift bölenler ise toplam bölen sayısından tek bölen sayısını çıkararak bulunur: Çift Bölen Sayısı = Toplam PBS - Tek Bölen Sayısı.
• Alternatif olarak, çift bölenlerin $2^1, 2^2, ..., 2^x$ çarpanlarından birini içermesi gerekir. Yani $2$'nin üssü için $x$ farklı seçenek vardır (1'den x'e kadar). Bu durumda çift bölen sayısı: $x \cdot (y+1) \cdot (z+1)$.
• Örnek: $72 = 2^3 \cdot 3^2$. Tek bölen sayısı: $(2+1) = 3$. Çift bölen sayısı: $3 \cdot (2+1) = 9$. Toplam bölen: $3+9=12$. (Formülle de $4 \cdot 3 = 12$ idi.)

📌 Belirli Bir Sayının Katı Olan Bölenler

Bir sayının belirli bir $K$ sayısının katı olan bölenlerini bulmak için, sayıyı $K$ parantezine alırız.

• Örneğin, $N = 120$ sayısının $6$'nın katı olan kaç tane böleni vardır?
• Önce $120$'yi asal çarpanlarına ayıralım: $120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1$.
• $6$'nın katı olan bölenleri bulmak için $120$'yi $6$ parantezine alalım: $120 = 6 \cdot 20$.
• Şimdi $20$ sayısının pozitif tam sayı bölenlerini bulmalıyız. $20 = 2^2 \cdot 5^1$.
• $20$'nin PBS'si: $(2+1) \cdot (1+1) = 3 \cdot 2 = 6$.
• Bu durumda $120$'nin $6$'nın katı olan $6$ tane böleni vardır. (Bunlar $6 \cdot 1, 6 \cdot 2, 6 \cdot 4, 6 \cdot 5, 6 \cdot 10, 6 \cdot 20$ yani $6, 12, 24, 30, 60, 120$'dir.)

📌 Asal Olmayan Bölenler

Bir sayının asal olmayan bölenlerini bulmak için toplam bölen sayısından asal bölen sayısını çıkarırız.

• Asal bölenler, sayının asal çarpanlarına ayrılmış halinde taban olarak bulunan asal sayılardır.
• Örneğin, $72 = 2^3 \cdot 3^2$ sayısının asal bölenleri $2$ ve $3$'tür. Yani $2$ tane asal böleni vardır.
• $72$'nin toplam $12$ tane böleni olduğunu biliyoruz.
• Asal olmayan bölen sayısı = Toplam PBS - Asal Bölen Sayısı.
• $72$ için: $12 - 2 = 10$ tane asal olmayan böleni vardır.

💡 İpucu: Bu konuları bol bol örnek çözerek pekiştirin. Unutmayın, pratik yapmak mükemmelleştirir!