Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı, asal çarpanlarının üslerinin birer fazlasının çarpımına eşittir.
Buna göre pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı 27 olan bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) \( 2^8 \times 3^2 \)
B) \( 2^2 \times 3^2 \times 5^2 \)
C) \( 2^{13} \)
D) \( 2^2 \times 3^2 \times 7^2 \)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulma kuralını kullanarak, bölen sayısı 27 olan bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış halini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
-
Kuralı Hatırlayalım: Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali $N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times ... \times p_k^{a_k}$ şeklinde ise, bu sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı, asal çarpanlarının üslerinin birer fazlasının çarpımına eşittir. Yani, Bölen Sayısı $= (a_1+1) \times (a_2+1) \times ... \times (a_k+1)$ formülüyle bulunur.
-
Hedefimiz: Bize verilen bilgiye göre, aradığımız sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı $27$ olmalıdır. Bu durumda, $(a_1+1) \times (a_2+1) \times ... \times (a_k+1) = 27$ eşitliğini sağlayan üs kombinasyonlarını bulmalıyız.
-
27 Sayısının Çarpanlarını İnceleyelim: $27$ sayısını farklı şekillerde çarpanlarına ayırarak, asal çarpanların üslerinin birer fazlası olabilecek kombinasyonları belirleyelim:
-
Tek asal çarpan olması durumu: Eğer sayının sadece bir tane asal çarpanı varsa (örneğin $p^a$), o zaman bölen sayısı $a+1$ olur.
$a+1 = 27 \Rightarrow a = 26$. Bu durumda sayı $p^{26}$ şeklinde olabilir. (Örneğin $2^{26}$)
-
İki asal çarpan olması durumu: Eğer sayının iki farklı asal çarpanı varsa (örneğin $p_1^{a_1} \times p_2^{a_2}$), o zaman bölen sayısı $(a_1+1) \times (a_2+1)$ olur.
$27 = 9 \times 3$ şeklinde çarpanlarına ayrılabilir.
Bu durumda $a_1+1 = 9 \Rightarrow a_1 = 8$ ve $a_2+1 = 3 \Rightarrow a_2 = 2$ olabilir. Sayı $p_1^8 \times p_2^2$ şeklinde olabilir. (Örneğin $2^8 \times 3^2$)
-
Üç asal çarpan olması durumu: Eğer sayının üç farklı asal çarpanı varsa (örneğin $p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times p_3^{a_3}$), o zaman bölen sayısı $(a_1+1) \times (a_2+1) \times (a_3+1)$ olur.
$27 = 3 \times 3 \times 3$ şeklinde çarpanlarına ayrılabilir.
Bu durumda $a_1+1 = 3 \Rightarrow a_1 = 2$, $a_2+1 = 3 \Rightarrow a_2 = 2$ ve $a_3+1 = 3 \Rightarrow a_3 = 2$ olabilir. Sayı $p_1^2 \times p_2^2 \times p_3^2$ şeklinde olabilir. (Örneğin $2^2 \times 3^2 \times 5^2$)
-
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim ve bölen sayılarını hesaplayalım:
-
A) $2^8 \times 3^2$: Asal çarpanların üsleri $8$ ve $2$'dir.
Bölen sayısı $= (8+1) \times (2+1) = 9 \times 3 = 27$. Bu sayı $27$ bölen sayısına sahiptir.
-
B) $2^2 \times 3^2 \times 5^2$: Asal çarpanların üsleri $2$, $2$ ve $2$'dir.
Bölen sayısı $= (2+1) \times (2+1) \times (2+1) = 3 \times 3 \times 3 = 27$. Bu sayı da $27$ bölen sayısına sahiptir.
-
C) $2^{13}$: Asal çarpanın üssü $13$'tür.
Bölen sayısı $= (13+1) = 14$. Bu sayı $27$ bölen sayısına sahip değildir.
-
D) $2^2 \times 3^2 \times 7^2$: Asal çarpanların üsleri $2$, $2$ ve $2$'dir.
Bölen sayısı $= (2+1) \times (2+1) \times (2+1) = 3 \times 3 \times 3 = 27$. Bu sayı da $27$ bölen sayısına sahiptir.
-
Sonuçları Değerlendirme: Gördüğümüz gibi A, B ve D seçeneklerindeki sayılar, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı $27$ olan sayılardır. Ancak çoktan seçmeli sorularda genellikle tek bir doğru cevap beklenir. Böyle durumlarda, eğer soruda özel bir koşul belirtilmemişse (örneğin "en küçük sayı"), genellikle seçenekler arasında en küçük değeri olan sayı doğru cevap olarak kabul edilir. Bu nedenle, bu üç seçenekteki sayıların değerlerini hesaplayalım:
-
A) $2^8 \times 3^2 = 256 \times 9 = 2304$
-
B) $2^2 \times 3^2 \times 5^2 = 4 \times 9 \times 25 = 36 \times 25 = 900$
-
D) $2^2 \times 3^2 \times 7^2 = 4 \times 9 \times 49 = 36 \times 49 = 1764$
Bu sayılar arasında en küçük olanı $900$'dür. Bu nedenle, B seçeneği sorunun beklenen cevabıdır.
Cevap B seçeneğidir.
