Bir kutuda 5 sağlam, 3 bozuk kalem vardır. Rastgele seçilen iki kalemden en az birinin bozuk olma olasılığı kaçtır?
A) 9/14Bu olasılık sorusunu adım adım çözelim. Bir kutuda toplam 5 sağlam ve 3 bozuk olmak üzere $5 + 3 = 8$ kalem bulunmaktadır. Rastgele iki kalem seçiyoruz ve en az birinin bozuk olma olasılığını bulmak istiyoruz.
Bu tür "en az bir" sorularında genellikle tüm durumdan, istenmeyen durumun olasılığını çıkarmak daha kolaydır. İstenmeyen durum, seçilen iki kalemin de bozuk olmaması, yani ikisinin de sağlam olması durumudur.
Toplam 8 kalemden rastgele 2 kalem seçebileceğimiz tüm farklı yolların sayısını bulalım. Bu bir kombinasyon problemidir ve $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ formülü ile hesaplanır.
Toplam seçim sayısı: $C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 4 \times 7 = 28$.
Yani, 8 kalemden 2 kalem seçmek için 28 farklı yol vardır.
İstenmeyen durum, seçilen iki kalemin de sağlam olmasıdır. Kutuda 5 sağlam kalem bulunmaktadır. Bu 5 sağlam kalemden 2 tanesini seçebileceğimiz farklı yolların sayısını bulalım.
İkisinin de sağlam olma seçim sayısı: $C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 5 \times 2 = 10$.
Yani, 5 sağlam kalemden 2 tanesini seçmek için 10 farklı yol vardır.
İkisinin de sağlam olma olasılığı, istenmeyen durumun seçim sayısının toplam seçim sayısına oranıdır.
$P(\text{ikiside sağlam}) = \frac{\text{İkisinin de sağlam olma seçim sayısı}}{\text{Toplam seçim sayısı}} = \frac{10}{28}$.
Bu kesri sadeleştirelim: $\frac{10 \div 2}{28 \div 2} = \frac{5}{14}$.
En az birinin bozuk olma olasılığı, tüm olasılıktan (yani 1'den), ikisinin de sağlam olma olasılığını çıkararak bulunur.
$P(\text{en az biri bozuk}) = 1 - P(\text{ikiside sağlam})$
$P(\text{en az biri bozuk}) = 1 - \frac{5}{14} = \frac{14}{14} - \frac{5}{14} = \frac{9}{14}$.
Buna göre, rastgele seçilen iki kalemden en az birinin bozuk olma olasılığı $\frac{9}{14}$'tür.
Cevap A seçeneğidir.
