İkinci dereceden eşitsizlikler Test 2

\( m \) bir gerçel sayı olmak üzere, \( x^2 - 4x + m > 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi tüm gerçel sayılardır. Buna göre \( m \)'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesinin tüm gerçel sayılar olmasını sağlayan $m$ değerini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• Öncelikle, verilen eşitsizlik $x^2 - 4x + m > 0$ şeklindedir. Bu bir ikinci dereceden eşitsizliktir.
• Bir ikinci dereceden $ax^2 + bx + c > 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesinin tüm gerçel sayılar (yani her $x$ değeri için doğru) olabilmesi için iki temel şartın sağlanması gerekir:
• 1. Şart: $x^2$'nin katsayısı olan $a$ pozitif olmalıdır ($a > 0$). Bu, parabolün kollarının yukarı doğru açık olduğu anlamına gelir.
• 2. Şart: Denklemin diskriminantı ($\Delta$) negatif olmalıdır ($\Delta < 0$). Bu, parabolün $x$-eksenini kesmediği, yani hiçbir gerçel kökünün olmadığı anlamına gelir. Eğer kollar yukarı doğru açık ve $x$-eksenini kesmiyorsa, parabol tamamen $x$-ekseninin üzerinde kalır ve dolayısıyla her zaman pozitif değerler alır.
• Şimdi bu şartları verilen $x^2 - 4x + m > 0$ eşitsizliğine uygulayalım. Burada $a=1$, $b=-4$ ve $c=m$ değerleridir.
• 1. Şartı Kontrol Edelim: $a=1$ olduğu için $a > 0$ şartı sağlanmaktadır. Parabolün kolları yukarı doğrudur.
• 2. Şartı Uygulayalım: Diskriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ formülü ile bulunur. Bu değerin negatif olması gerekir ($\Delta < 0$).
• Değerleri yerine yazalım: $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(m) < 0$.
• Bu ifadeyi düzenleyelim: $16 - 4m < 0$.
• Şimdi bu eşitsizliği $m$ için çözelim:
• $16 < 4m$
• Her iki tarafı 4'e bölelim: $rac{16}{4} < rac{4m}{4}$
• $4 < m$.
• Bu sonuca göre, $m$ değeri 4'ten büyük olmalıdır.
• Soruda bizden $m$'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri isteniyor. $m > 4$ şartını sağlayan en küçük tam sayı değeri 5'tir.

Cevap C seçeneğidir.