\( x^2 - 6x + 9 \leq 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( \mathbb{R} \)Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, $ x^2 - 6x + 9 \leq 0 $ eşitsizliğinin çözüm kümesini adım adım bulacağız. Bu tür eşitsizlikleri çözerken, ifadeyi tanımak ve özelliklerini kullanmak çok önemlidir.
Adım 1: Eşitsizliği İnceleyelim
Verilen eşitsizlik $ x^2 - 6x + 9 \leq 0 $ şeklindedir. Bu ifadeyi dikkatlice incelediğimizde, özel bir cebirsel ifadeye benzediğini fark edebiliriz.
Adım 2: İfadeyi Tam Kare Şeklinde Yazalım
Hatırlayalım ki, bir tam kare ifade $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $ veya $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $ şeklindedir.
Bizim ifademiz $ x^2 - 6x + 9 $.
Bu durumda, $ x^2 - 6x + 9 $ ifadesi $ (x-3)^2 $ olarak yazılabilir.
Adım 3: Eşitsizliği Yeniden Yazalım
Şimdi eşitsizliğimizi tam kare formunda yazalım:
$ (x-3)^2 \leq 0 $
Adım 4: Tam Kare İfadenin Özelliğini Düşünelim
Herhangi bir gerçek sayının karesi (yani $ (x-3)^2 $ gibi bir ifade), daima sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür. Yani, $ (x-3)^2 \geq 0 $ olmak zorundadır.
Adım 5: Eşitsizliğin Çözümünü Bulalım
Bizim eşitsizliğimiz $ (x-3)^2 \leq 0 $ diyor. Aynı zamanda biliyoruz ki $ (x-3)^2 \geq 0 $.
Bir ifade hem sıfırdan küçük veya eşit, hem de sıfırdan büyük veya eşit olabiliyorsa, bu sadece ifadenin sıfıra eşit olduğu durumda mümkündür.
Yani, $ (x-3)^2 = 0 $ olmalıdır.
Adım 6: $x$ Değerini Bulalım
$ (x-3)^2 = 0 $ denklemini çözmek için her iki tarafın karekökünü alalım:
$ \sqrt{(x-3)^2} = \sqrt{0} $
$ x-3 = 0 $
$ x = 3 $
Bu, eşitsizliği sağlayan tek $x$ değeridir.
Adım 7: Çözüm Kümesini Belirleyelim
Eşitsizliği sağlayan tek değer $ x=3 $ olduğundan, çözüm kümesi sadece bu elemanı içeren bir kümedir.
Çözüm kümesi $ \{3\} $ olarak yazılır.
Seçeneklere baktığımızda, bu çözüm kümesi B seçeneğinde verilmiştir.
Cevap B seçeneğidir.
