\( -x^2 + 4x - 4 \geq 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( \mathbb{R} \)Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür eşitsizlikleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
Verilen eşitsizlik $ -x^2 + 4x - 4 \geq 0 $ şeklindedir. İkinci dereceden eşitsizlikleri çözerken, $x^2$ teriminin katsayısını pozitif yapmak genellikle işimizi kolaylaştırır. Bunun için eşitsizliğin her iki tarafını $-1$ ile çarpalım. Ancak unutmayın, bir eşitsizliği negatif bir sayı ile çarptığımızda veya böldüğümüzde eşitsizlik yön değiştirir.
$ (-1) \cdot (-x^2 + 4x - 4) \leq (-1) \cdot 0 $
$ x^2 - 4x + 4 \leq 0 $
Şimdi elde ettiğimiz $ x^2 - 4x + 4 $ ifadesine dikkatlice bakalım. Bu ifade, bildiğimiz bir tam kare özdeşliğine benziyor mu? Hatırlayalım: $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.
Burada $a=x$ ve $b=2$ alırsak:
$ (x-2)^2 = x^2 - 2(x)(2) + 2^2 = x^2 - 4x + 4 $
Evet, ifademiz bir tam kare imiş! O zaman eşitsizliğimizi şu şekilde yeniden yazabiliriz:
$ (x-2)^2 \leq 0 $
Şimdi elimizde $ (x-2)^2 \leq 0 $ eşitsizliği var. Bir sayının karesinin (gerçek sayılar kümesinde) her zaman sıfırdan büyük veya eşit olduğunu biliyoruz. Yani, $ (x-2)^2 \geq 0 $ her zaman doğrudur.
Bizden istenen ise $ (x-2)^2 $ ifadesinin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olmasıdır. Bir sayının karesi asla negatif olamayacağı için, $ (x-2)^2 < 0 $ durumu mümkün değildir.
Geriye kalan tek ihtimal, $ (x-2)^2 $ ifadesinin sıfıra eşit olmasıdır.
$ (x-2)^2 = 0 $
Bir ifadenin karesi sıfıra eşitse, o ifadenin kendisi de sıfıra eşit olmalıdır:
$ x-2 = 0 $
$ x = 2 $
Bu durumda, $ -x^2 + 4x - 4 \geq 0 $ eşitsizliğini sağlayan tek bir $x$ değeri vardır, o da $x=2$'dir. Çözüm kümesi sadece bu elemanı içeren bir kümedir.
Çözüm Kümesi: $ \{2\} $
Bu çözüm, B seçeneğinde verilen $ \{2\} $ ile eşleşmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
