İkinci dereceden eşitsizlikler Test 2

\( x^2 - 8x + 15 > 0 \) eşitsizliğini sağlayan en küçük iki pozitif tam sayının toplamı kaçtır?

A) 3
B) 5
C) 7
D) 9

Bu soruda, bir ikinci dereceden eşitsizliği çözerek, eşitsizliği sağlayan belirli pozitif tam sayıların toplamını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Eşitsizliği Denkleme Dönüştürme ve Kökleri Bulma

  Öncelikle, verilen $ x^2 - 8x + 15 > 0 $ eşitsizliğini bir denklem gibi düşünerek köklerini bulalım. Bunun için eşitsizliği $ x^2 - 8x + 15 = 0 $ şeklinde yazarız.

  Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $15$ ve toplamları $-8$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $-3$ ve $-5$'tir.

  Denklemi çarpanlarına ayırırsak: $ (x - 3)(x - 5) = 0 $

  Buradan denklemin kökleri $ x_1 = 3 $ ve $ x_2 = 5 $ olarak bulunur.

  Bu kökler, eşitsizliğin işaret değiştirdiği kritik noktalardır.

• 2. Adım: İşaret Tablosu Oluşturma ve Eşitsizliği Sağlayan Aralıkları Belirleme

  Şimdi, bulduğumuz kökleri ($3$ ve $5$) kullanarak bir işaret tablosu oluşturalım. $ x^2 - 8x + 15 $ ifadesinin baş katsayısı (yani $ x^2 $'nin katsayısı) $1$ olduğu için pozitiftir. İşaret tablosunda en sağdan (en büyük kökün sağından) başlayarak baş katsayının işaretiyle aynı işaretle başlarız ve her kökte işaret değiştiririz.

  İşaret analizi:

  • $ x < 3 $ için: Örneğin $x=0$ alırsak, $ (0-3)(0-5) = (-3)(-5) = 15 > 0 $. Yani bu aralıkta ifade pozitiftir.
  • $ 3 < x < 5 $ için: Örneğin $x=4$ alırsak, $ (4-3)(4-5) = (1)(-1) = -1 < 0 $. Yani bu aralıkta ifade negatiftir.
  • $ x > 5 $ için: Örneğin $x=6$ alırsak, $ (6-3)(6-5) = (3)(1) = 3 > 0 $. Yani bu aralıkta ifade pozitiftir.

  Bizden $ x^2 - 8x + 15 > 0 $ eşitsizliğini sağlayan değerler istendiği için, ifadenin pozitif olduğu aralıkları seçmeliyiz.

  Çözüm kümesi: $ x < 3 $ veya $ x > 5 $.

  Yani $ (-\infty, 3) \cup (5, \infty) $ aralıklarıdır.

• 3. Adım: Eşitsizliği Sağlayan En Küçük İki Pozitif Tam Sayıyı Bulma

  Şimdi, bu çözüm aralıklarında bulunan pozitif tam sayıları belirleyelim:

  • $ x < 3 $ aralığındaki pozitif tam sayılar: $1, 2$.
  • $ x > 5 $ aralığındaki pozitif tam sayılar: $6, 7, 8, \dots$.

  Soru, "eşitsizliğini sağlayan en küçük iki pozitif tam sayının toplamı"nı istemektedir. Çözüm kümesi iki ayrı aralıktan oluştuğu için, bu ifade genellikle her bir aralıktan gelen en küçük pozitif tam sayıları almamız gerektiği anlamına gelir.

  Bu yoruma göre:

  • $ x < 3 $ aralığını sağlayan en küçük pozitif tam sayı $1$'dir.
  • $ x > 5 $ aralığını sağlayan en küçük pozitif tam sayı $6$'dır.

• 4. Adım: Bulunan Sayıların Toplamını Hesaplama

  Eşitsizliği sağlayan bu en küçük iki pozitif tam sayının toplamını bulalım:

  $ 1 + 6 = 7 $

Cevap C seçeneğidir.