5 farklı matematik kitabı ve 4 farklı fizik kitabı bir rafa, aynı tür kitaplar yan yana gelecek şekilde kaç farklı biçimde sıralanabilir?
A) \(5! \times 4!\)
B) \(2 \times 5! \times 4!\)
C) \(5! + 4!\)
D) \(5! \times 4! \times 2!\)
E) \(4! \times 3! \times 2!\)
Bu problem, permütasyon (sıralama) konusunu ve belirli koşullar altında nesnelerin nasıl düzenleneceğini anlamamızı gerektiriyor. Adım adım ilerleyerek soruyu çözelim:
- Adım 1: Kitap türlerini gruplandırma
- Soruda, aynı tür kitapların yan yana olması gerektiği belirtiliyor. Bu, 5 farklı matematik kitabını tek bir grup (bir "matematik bloğu") ve 4 farklı fizik kitabını da tek bir grup (bir "fizik bloğu") olarak düşüneceğimiz anlamına gelir.
- Yani, rafa aslında iki büyük "nesne" yerleştireceğiz: Matematik kitapları bloğu ve Fizik kitapları bloğu.
- Adım 2: Matematik kitaplarını kendi aralarında sıralama
- Elimizde 5 farklı matematik kitabı var. Bu 5 farklı matematik kitabı, kendi aralarında $5!$ (5 faktöriyel) farklı şekilde sıralanabilir.
- $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
- Adım 3: Fizik kitaplarını kendi aralarında sıralama
- Benzer şekilde, elimizde 4 farklı fizik kitabı var. Bu 4 farklı fizik kitabı, kendi aralarında $4!$ (4 faktöriyel) farklı şekilde sıralanabilir.
- $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
- Adım 4: Kitap bloklarını kendi aralarında sıralama
- Şimdi elimizde iki büyük blok var: Matematik kitapları bloğu ve Fizik kitapları bloğu. Bu iki blok, raf üzerinde kendi aralarında yer değiştirebilirler.
- Yani, rafın düzeni "Matematik Bloğu - Fizik Bloğu" şeklinde olabileceği gibi, "Fizik Bloğu - Matematik Bloğu" şeklinde de olabilir.
- Bu iki bloğun kendi aralarında sıralanma sayısı $2!$ (2 faktöriyel) kadardır.
- $2! = 2 \times 1 = 2$
- Adım 5: Tüm olasılıkları birleştirme
- Toplam sıralama sayısını bulmak için, her adımda bulduğumuz olasılıkları çarpmamız gerekir. Çünkü bu olaylar birbirini takip eden ve bağımsız olaylardır.
- Toplam sıralama sayısı = (Matematik kitaplarının kendi içindeki sıralaması) $\times$ (Fizik kitaplarının kendi içindeki sıralaması) $\times$ (Kitap bloklarının kendi içindeki sıralaması)
- Toplam sıralama sayısı = $5! \times 4! \times 2!$
- Bu ifade, seçeneklerde $2 \times 5! \times 4!$ olarak da gösterilebilir, çünkü $2! = 2$'dir.
Bu nedenle, doğru cevap $2 \times 5! \times 4!$ şeklindedir.
Cevap B seçeneğidir.
