∫x·e^x dx integralini çözmek isteyen bir öğrenci kısmi integrasyon yöntemini uygulamak istiyor. Buna göre aşağıdaki seçeneklerden hangisi doğru şekilde uygulanmıştır?
A) u = x, dv = e^x dx seçilir
B) u = e^x, dv = x dx seçilir
C) u = x·e^x, dv = dx seçilir
D) u = 1, dv = x·e^x dx seçilir
Kısmi integrasyon yöntemi, iki fonksiyonun çarpımının integralini alırken kullanılan güçlü bir tekniktir. Bu yöntemin temel formülü şöyledir: $ \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $.
Bu yöntemde en kritik adım, integralini alacağımız ifadeyi $u$ ve $dv$ olarak doğru bir şekilde ayırmaktır. Amacımız, $ \int v \cdot du $ integralini, başlangıçtaki $ \int u \cdot dv $ integralinden daha kolay çözülebilir hale getirmektir.
- Adım 1: Kısmi İntegrasyon Yönteminin Temelini Anlamak
- Kısmi integrasyonun amacı, karmaşık bir çarpım integralini daha basit bir hale dönüştürmektir. Bunu yaparken, $u$ olarak seçtiğimiz fonksiyonun türevi alındığında basitleşmesini, $dv$ olarak seçtiğimiz fonksiyonun ise kolayca integralinin alınabilmesini isteriz.
- Adım 2: $u$ ve $dv$ Seçimi İçin Kural (LIATE/ILATE)
- $u$ ve $dv$ seçiminde genellikle "LIATE" veya "ILATE" adı verilen bir öncelik sırası kullanılır. Bu, hangi fonksiyonun $u$ olarak seçilmesi gerektiği konusunda bize yol gösterir:
- L: Logaritmik fonksiyonlar (örneğin, $ \ln x $)
- I: Ters trigonometrik fonksiyonlar (örneğin, $ \arctan x $)
- A: Cebirsel fonksiyonlar (örneğin, $ x^n $, polinomlar)
- T: Trigonometrik fonksiyonlar (örneğin, $ \sin x $, $ \cos x $)
- E: Üstel fonksiyonlar (örneğin, $ e^x $, $ a^x $)
- Bu sıraya göre, listede daha üstte yer alan fonksiyonu $u$ olarak seçmek genellikle integralin basitleşmesini sağlar. Çünkü logaritmik ve ters trigonometrik fonksiyonların türevleri genellikle daha basittir, cebirsel fonksiyonların türevleri derecelerini düşürürken, üstel fonksiyonların türevleri kendileri gibidir.
- Adım 3: Verilen İntegrale Uygulama
- Bize verilen integral $ \int x \cdot e^x dx $ şeklindedir. Burada iki farklı türde fonksiyon bulunmaktadır:
- $x$: Bu bir cebirsel fonksiyondur (A).
- $e^x$: Bu bir üstel fonksiyondur (E).
- LIATE kuralına göre, "A" (Cebirsel) "E" (Üstel) fonksiyonundan önce gelir. Bu nedenle, $u$ olarak cebirsel fonksiyonu, yani $x$'i seçmek en mantıklı yaklaşımdır.
- Eğer $u = x$ seçersek, geriye kalan $e^x dx$ ifadesi $dv$ olacaktır. Yani, $dv = e^x dx$.
- Adım 4: Seçenekleri Değerlendirme
- Şimdi seçeneklerimizi inceleyelim:
- A) $u = x$, $dv = e^x dx$ seçilir: Bu, LIATE kuralına göre yaptığımız seçimle tamamen uyumludur. Bu seçimle $du = dx$ ve $v = e^x$ olur. Yeni integral $ \int e^x dx $ çok daha kolay çözülebilir bir integraldir. Bu doğru bir yaklaşımdır.
- B) $u = e^x$, $dv = x dx$ seçilir: Bu durumda $du = e^x dx$ ve $v = \frac{x^2}{2}$ olur. Yeni integralimiz $ \int \frac{x^2}{2} e^x dx $ olacaktır. Gördüğünüz gibi, $x$'in derecesi arttığı için integral daha da karmaşık hale gelmiştir. Bu iyi bir seçim değildir.
- C) $u = x \cdot e^x$, $dv = dx$ seçilir: Bu durumda $du = (e^x + x \cdot e^x) dx$ ve $v = x$ olur. Yeni integral $ \int x (e^x + x \cdot e^x) dx $ şeklinde olur ki bu orijinal integralden çok daha karmaşıktır. Bu da doğru bir seçim değildir.
- D) $u = 1$, $dv = x \cdot e^x dx$ seçilir: Bu durumda $du = 0 dx$ olur, bu da $ \int v \cdot du $ kısmını sıfır yapar gibi görünse de, $dv = x \cdot e^x dx$ seçimi, $v$ değerini bulmak için zaten çözmeye çalıştığımız orijinal integrali almamız gerektiği anlamına gelir. Bu, problemi çözmek yerine sadece yeniden ifade etmektir. Bu da doğru bir seçim değildir.
Yukarıdaki değerlendirmelere göre, $u$ ve $dv$ için en doğru ve etkili seçim A seçeneğinde verilmiştir.
Cevap A seçeneğidir.
