Kısmi integrasyon yöntemi nedir Test 2

∫x·cosx dx integralinde u = x ve dv = cosx dx seçilirse, elde edilecek ifade aşağıdakilerden hangisidir?

A) x·sinx - ∫sinx dx
B) x·sinx + ∫sinx dx
C) x·cosx - ∫cosx dx
D) x·sinx + ∫cosx dx

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, integral alma tekniklerinden biri olan kısmi integrasyon (parça parça integral) yöntemini kullanarak verilen ifadeyi adım adım çözeceğiz. Kısmi integrasyon, iki fonksiyonun çarpımının integralini alırken kullandığımız güçlü bir yöntemdir.

Kısmi integrasyon formülü şöyledir:

• $\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Şimdi sorumuzdaki integral ifadesine ve bize verilen $u$ ve $dv$ seçimlerine bakalım:

• İntegral: $\int x \cdot \cos x \, dx$
• Verilen seçimler: $u = x$ ve $dv = \cos x \, dx$

Bu seçimleri kullanarak formüldeki diğer terimleri bulmamız gerekiyor:

• 1. $du$ değerini bulalım: $u = x$ olduğu için, her iki tarafın diferansiyelini alarak $du$ değerini buluruz.
• $du = d(x) = 1 \cdot dx = dx$

• 2. $v$ değerini bulalım: $dv = \cos x \, dx$ olduğu için, $v$ değerini bulmak için $dv$ ifadesinin integralini alırız.
• $v = \int dv = \int \cos x \, dx$
• $v = \sin x$ (Burada integral sabiti $C$ eklememize gerek yoktur, çünkü formülün sonunda zaten bir integral ifadesi bulunmaktadır.)

Şimdi bulduğumuz $u$, $v$, $du$ ve $dv$ değerlerini kısmi integrasyon formülünde yerine koyalım:

• $\int u \, dv = uv - \int v \, du$
• $\int x \cdot \cos x \, dx = (x)(\sin x) - \int (\sin x)(dx)$

Bu ifadeyi düzenlersek:

• $\int x \cdot \cos x \, dx = x \cdot \sin x - \int \sin x \, dx$

Elde ettiğimiz bu ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile tamamen aynı olduğunu görüyoruz.

Cevap A seçeneğidir.