∫e^x·sinx dx integrali için kısmi integrasyon uygulandığında, u = e^x ve dv = sinx dx seçilirse ikinci bir kısmi integrasyon daha gerekiyor. Bu işlemler sonucunda elde edilen denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) ∫e^x·sinx dx = e^x·sinx - e^x·cosx - ∫e^x·sinx dx
B) ∫e^x·sinx dx = e^x·sinx + e^x·cosx + ∫e^x·sinx dx
C) ∫e^x·sinx dx = e^x·sinx - e^x·cosx + ∫e^x·sinx dx
D) ∫e^x·sinx dx = e^x·sinx + e^x·cosx - ∫e^x·sinx dx
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, kısmi integrasyon yöntemini kullanarak $ \int e^x \cdot \sin x \, dx $ integralini adım adım çözeceğiz. Kısmi integrasyon, iki fonksiyonun çarpımının integralini almak için kullanılan güçlü bir yöntemdir. Formülü şöyledir:
- $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $
Şimdi, soruda verilen başlangıç seçimlerini kullanarak integralimizi çözmeye başlayalım:
1. Adım: İlk Kısmi İntegrasyon Uygulaması
- Soruda belirtildiği gibi, $ u = e^x $ ve $ dv = \sin x \, dx $ olarak seçiyoruz.
- Şimdi $ du $ ve $ v $ değerlerini bulalım:
- $ u = e^x \implies du = e^x \, dx $ (Her iki tarafın türevini aldık)
- $ dv = \sin x \, dx \implies v = \int \sin x \, dx = -\cos x $ (Her iki tarafın integralini aldık)
- Kısmi integrasyon formülünü uygulayalım:
- $ \int e^x \cdot \sin x \, dx = (e^x)(-\cos x) - \int (-\cos x)(e^x \, dx) $
- $ \int e^x \cdot \sin x \, dx = -e^x \cdot \cos x + \int e^x \cdot \cos x \, dx $
- Bu denklemi şimdilik bir kenara not edelim. Gördüğümüz gibi, sağ tarafta hala bir integral var: $ \int e^x \cdot \cos x \, dx $. Bu integrali çözmek için bir kez daha kısmi integrasyon uygulamamız gerekecek.
2. Adım: İkinci Kısmi İntegrasyon Uygulaması
- Şimdi $ \int e^x \cdot \cos x \, dx $ integralini ele alalım. Tutarlı olmak için yine $ u = e^x $ ve $ dv = \cos x \, dx $ seçimini yapalım.
- $ du $ ve $ v $ değerlerini bulalım:
- $ u = e^x \implies du = e^x \, dx $
- $ dv = \cos x \, dx \implies v = \int \cos x \, dx = \sin x $
- Kısmi integrasyon formülünü tekrar uygulayalım:
- $ \int e^x \cdot \cos x \, dx = (e^x)(\sin x) - \int (\sin x)(e^x \, dx) $
- $ \int e^x \cdot \cos x \, dx = e^x \cdot \sin x - \int e^x \cdot \sin x \, dx $
3. Adım: Sonuçları Birleştirme
- İlk kısmi integrasyondan elde ettiğimiz denklemi hatırlayalım:
- $ \int e^x \cdot \sin x \, dx = -e^x \cdot \cos x + \int e^x \cdot \cos x \, dx $
- Şimdi, ikinci kısmi integrasyondan elde ettiğimiz $ \int e^x \cdot \cos x \, dx $ ifadesini bu denkleme yerine yazalım:
- $ \int e^x \cdot \sin x \, dx = -e^x \cdot \cos x + \left( e^x \cdot \sin x - \int e^x \cdot \sin x \, dx \right) $
- $ \int e^x \cdot \sin x \, dx = -e^x \cdot \cos x + e^x \cdot \sin x - \int e^x \cdot \sin x \, dx $
- Denklemi daha düzenli hale getirelim:
- $ \int e^x \cdot \sin x \, dx = e^x \cdot \sin x - e^x \cdot \cos x - \int e^x \cdot \sin x \, dx $
Bu denklem, seçeneklerde verilen ifadelerden biriyle eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
