∫arctanx dx integralini çözmek için kısmi integrasyon uygulanacaktır. Hangi seçim doğru olur?
A) u = arctanx, dv = dx
B) u = dx, dv = arctanx
C) u = 1, dv = arctanx dx
D) u = x, dv = arctanx dx
Merhaba sevgili öğrenciler,
Kısmi integrasyon, iki fonksiyonun çarpımının integralini almak için kullanılan güçlü bir yöntemdir. Formülü şöyledir: $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $. Bu yöntemi uygularken en kritik adım, $u$ ve $dv$ seçimini doğru yapmaktır. Doğru seçim, integralin basitleşmesini sağlarken, yanlış seçim bizi daha karmaşık bir integrale götürebilir veya çözüme ulaşmamızı engelleyebilir.
Şimdi, $ \int \arctan x \, dx $ integralini çözmek için $u$ ve $dv$ seçimini adım adım inceleyelim:
- Kısmi İntegrasyonun Amacı: Amacımız, $ \int v \, du $ integralinin, başlangıçtaki $ \int u \, dv $ integralinden daha kolay çözülebilir olmasını sağlamaktır. Bunun için $u$ kolay türevlenebilen, $dv$ ise kolay integrallenebilen bir ifade olmalıdır.
- Verilen İntegrali İnceleyelim: Elimizde $ \int \arctan x \, dx $ integrali var. Bu integralde sadece bir "fonksiyon" gibi görünen $ \arctan x $ ve bir de $dx$ terimi bulunmaktadır. Kısmi integrasyon uygulayabilmek için iki terime ihtiyacımız var. Bu durumda, $ \arctan x $ fonksiyonunu ve $1$ (sabit bir çarpan olarak) fonksiyonunu düşünebiliriz. Yani integral $ \int \arctan x \cdot 1 \, dx $ şeklindedir.
- Seçenekleri Değerlendirelim:
- A) $u = \arctan x$, $dv = dx$
- Eğer $u = \arctan x$ seçersek, $du$ kolayca bulunabilir: $du = \frac{1}{1+x^2} dx$.
- Eğer $dv = dx$ seçersek, $v$ kolayca bulunabilir: $v = \int dx = x$.
- Bu seçimle $ \int v \, du $ integralimiz $ \int x \cdot \frac{1}{1+x^2} dx $ olur. Bu integral, $t = 1+x^2$ dönüşümü yapılarak kolayca çözülebilir (çünkü $dt = 2x \, dx$ ve $x \, dx = \frac{1}{2} dt$). Bu, başlangıçtaki integrale göre çok daha basittir. Bu seçim doğru yolda olduğumuzu gösteriyor.
- B) $u = dx$, $dv = \arctan x$
- Bu seçim hatalıdır. $u$ bir fonksiyon olmalıdır, $dx$ bir diferansiyeldir. $dx$ terimi $dv$ kısmında yer alır.
- C) $u = 1$, $dv = \arctan x \, dx$
- Eğer $u = 1$ seçersek, $du = 0 \, dx$.
- Eğer $dv = \arctan x \, dx$ seçersek, $v = \int \arctan x \, dx$ olur. Bu, başlangıçtaki integralin aynısıdır! Yani $v$ değerini bulmak için yine aynı integrali çözmemiz gerekir. Bu seçim, problemi basitleştirmez, aksine bizi başa döndürür.
- D) $u = x$, $dv = \arctan x \, dx$
- Eğer $u = x$ seçersek, $du = dx$.
- Eğer $dv = \arctan x \, dx$ seçersek, yine $v = \int \arctan x \, dx$ olur. Tıpkı C seçeneğinde olduğu gibi, $v$ değerini bulmak için başlangıçtaki integrali çözmemiz gerekir. Bu seçim de problemi basitleştirmez.
- Sonuç: Seçenekleri değerlendirdiğimizde, sadece A seçeneği $u$ ve $dv$ için uygun seçimleri sunmakta ve $ \int v \, du $ integralini daha kolay çözülebilir bir hale getirmektedir. Genellikle, ters trigonometrik fonksiyonlar ( $ \arctan x $, $ \arcsin x $ vb.) ve logaritmik fonksiyonlar ( $ \ln x $ ) gibi türevi kolay ancak integrali zor olan fonksiyonlar için $u$ olarak seçilmeleri tercih edilir.
Cevap A seçeneğidir.
