Kısmi integrasyon yöntemi nedir Test 2

∫x·lnx dx integralinde u = lnx ve dv = x dx seçilirse, elde edilecek sonuç aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x²/2)·lnx - x²/4 + C
B) (x²/2)·lnx + x²/4 + C
C) x·lnx - x²/2 + C
D) (x²/2)·lnx - ∫x dx

Sevgili öğrenciler, bu integral sorusunu adım adım, dikkatlice çözerek integral alma tekniklerinden biri olan kısmi integrasyon (parça parça integral alma) yöntemini pekiştirelim. Kısmi integrasyon formülü $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ şeklindedir.

• Adım 1: $u$ ve $dv$ değerlerini belirleme.

  Soruda bize $u = \ln x$ ve $dv = x \, dx$ olarak verilmiş. Bu seçim, kısmi integrasyon için oldukça uygun bir başlangıçtır, çünkü $\ln x$'in türevi daha basit bir ifade verirken, $x$'in integrali de kolayca alınabilir.

• Adım 2: $du$ ve $v$ değerlerini bulma.
  • $u = \ln x$ ise, $u$'nun türevini alarak $du$'yu buluruz: $du = \frac{d}{dx}(\ln x) \, dx = \frac{1}{x} \, dx$
  • $dv = x \, dx$ ise, $dv$'nin integralini alarak $v$'yi buluruz: $v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}$ (Burada integral sabiti $C$'yi şimdilik eklemiyoruz, en sonda ekleyeceğiz.)
• Adım 3: Kısmi integrasyon formülünü uygulama.

  Şimdi bulduğumuz $u, dv, du, v$ değerlerini $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ formülünde yerine yazalım:

  $\int x \cdot \ln x \, dx = (\ln x) \cdot \left(\frac{x^2}{2}\right) - \int \left(\frac{x^2}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{x}\right) \, dx$

• Adım 4: İfadeyi basitleştirme ve kalan integrali çözme.

  Elde ettiğimiz ifadeyi düzenleyelim:

  $\int x \cdot \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2x} \, dx$

  İntegral içindeki ifadeyi sadeleştirelim:

  $\int x \cdot \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x}{2} \, dx$

  Şimdi kalan integrali çözelim:

  $\int \frac{x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4}$

• Adım 5: Sonucu yazma.

  Bulduğumuz bu son integrali ana ifadeye yerine yazarak nihai çözüme ulaşırız. Bu adımda integral sabiti $C$'yi eklemeyi unutmayalım:

  $\int x \cdot \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$

Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.