Kısmi integrasyon yöntemi nedir Test 2

Kısmi integrasyon formülü ∫u dv = uv - ∫v du şeklindedir. ∫x³·sinx dx integralini çözmek için u = x³ seçildiğinde, bu integrali çözmek için toplam kaç kez kısmi integrasyon uygulanmalıdır?

A) 3
B) 2
C) 1
D) 4

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün kısmi integrasyon formülünü kullanarak bir integralin çözümünde bu formülü kaç kez uygulamamız gerektiğini adım adım inceleyeceğiz. Kısmi integrasyon, iki fonksiyonun çarpımının integralini alırken kullanılan çok güçlü bir yöntemdir. Formülümüz $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ şeklindedir.

Sorumuz, $ \int x^3 \cdot \sin x \, dx $ integralini çözmek için $ u = x^3 $ seçildiğinde, bu integrali çözmek için toplam kaç kez kısmi integrasyon uygulanması gerektiğini soruyor.

Haydi çözüme başlayalım:

• 1. Adım: İlk Kısmi İntegrasyon Uygulaması

  Verilen integral $ \int x^3 \cdot \sin x \, dx $ şeklindedir.

  Soruda belirtildiği gibi $ u = x^3 $ seçelim. Bu durumda $ dv = \sin x \, dx $ olur.

  • $ u = x^3 \implies du = 3x^2 \, dx $
  • $ dv = \sin x \, dx \implies v = \int \sin x \, dx = -\cos x $

  Kısmi integrasyon formülünü uygulayalım:

  $ \int x^3 \cdot \sin x \, dx = x^3(-\cos x) - \int (-\cos x)(3x^2 \, dx) $

  $ = -x^3 \cos x + 3 \int x^2 \cos x \, dx $

  Gördüğünüz gibi, integralin içindeki $ x^3 $ terimi $ x^2 $ terimine dönüştü. Şimdi $ \int x^2 \cos x \, dx $ integralini çözmemiz gerekiyor.

• 2. Adım: İkinci Kısmi İntegrasyon Uygulaması

  Şimdi $ 3 \int x^2 \cos x \, dx $ integralini ele alalım. Bu integral için tekrar kısmi integrasyon uygulayacağız.

  Bu sefer $ u = x^2 $ seçelim. Bu durumda $ dv = \cos x \, dx $ olur.

  • $ u = x^2 \implies du = 2x \, dx $
  • $ dv = \cos x \, dx \implies v = \int \cos x \, dx = \sin x $

  Kısmi integrasyon formülünü uygulayalım:

  $ 3 \int x^2 \cos x \, dx = 3 \left[ x^2 \sin x - \int \sin x (2x \, dx) \right] $

  $ = 3x^2 \sin x - 6 \int x \sin x \, dx $

  İntegralin içindeki $ x^2 $ terimi $ x $ terimine dönüştü. Şimdi $ \int x \sin x \, dx $ integralini çözmemiz gerekiyor.

• 3. Adım: Üçüncü Kısmi İntegrasyon Uygulaması

  Şimdi $ -6 \int x \sin x \, dx $ integralini ele alalım. Bu integral için tekrar kısmi integrasyon uygulayacağız.

  Bu sefer $ u = x $ seçelim. Bu durumda $ dv = \sin x \, dx $ olur.

  • $ u = x \implies du = dx $
  • $ dv = \sin x \, dx \implies v = \int \sin x \, dx = -\cos x $

  Kısmi integrasyon formülünü uygulayalım:

  $ -6 \int x \sin x \, dx = -6 \left[ x(-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx \right] $

  $ = -6 \left[ -x \cos x + \int \cos x \, dx \right] $

  $ = -6 \left[ -x \cos x + \sin x \right] $

  Bu aşamada $ \int \cos x \, dx $ integrali temel bir integraldir ve doğrudan çözülebilir. Yani, kısmi integrasyon uygulamasına artık gerek kalmamıştır.

Özetle, $ x^3 $ terimini türev alarak basamak basamak $ x^2 $, sonra $ x $, en sonunda ise sabit bir sayıya (yani $ x^0 $ terimine) dönüştürdük. Her adımda kısmi integrasyon uyguladık.

• İlk uygulama: $ x^3 \to x^2 $
• İkinci uygulama: $ x^2 \to x $
• Üçüncü uygulama: $ x \to 1 $ (sabit)

Dolayısıyla, bu integrali çözmek için toplam 3 kez kısmi integrasyon uygulanması gerekmektedir.

Cevap A seçeneğidir.