Bir ifadenin polinom olup olmadığını anlamak için, polinomun tanımını iyi bilmemiz gerekir. Bir polinom, değişkenlerin sadece toplama, çıkarma, çarpma ve değişkenlerin negatif olmayan tam sayı kuvvetlerini (üslerini) içeren bir cebirsel ifadedir.
Bu tanıma göre, bir ifadenin polinom olabilmesi için aşağıdaki iki temel kurala uyması gerekir:
- Değişkenlerin (örneğin $x$) kuvvetleri (üsleri) negatif olmayan tam sayılar olmalıdır (yani $0, 1, 2, 3, \dots$ gibi).
- Değişkenler kök içinde veya paydada bulunmamalıdır (çünkü bu durumlar genellikle kesirli veya negatif üs anlamına gelir). Katsayılar ise herhangi bir gerçek sayı olabilir (rasyonel, irrasyonel, tam sayı vb.).
Şimdi seçenekleri bu kurallar çerçevesinde inceleyelim:
- A) $3x^2 - 5x + 1$: Bu ifadede $x$'in kuvvetleri $2$, $1$ (çünkü $5x = 5x^1$) ve $0$ (çünkü $1 = 1x^0$) şeklindedir. Bu kuvvetlerin hepsi negatif olmayan tam sayılar olduğu için bu ifade bir polinomdur.
- B) $\sqrt{2}x^3 + x - 4$: Bu ifadede $x$'in kuvvetleri $3$, $1$ ve $0$ şeklindedir. Katsayı olan $\sqrt{2}$ bir gerçek sayıdır ve polinom tanımına aykırı değildir. Önemli olan değişkenin kuvvetidir. Tüm kuvvetler negatif olmayan tam sayılar olduğu için bu ifade bir polinomdur.
- C) $2x^{-1} + 3x + 1$: Bu ifadede $x$'in kuvvetleri $-1$, $1$ ve $0$ şeklindedir. İlk terimdeki $x^{-1}$ ifadesi, $x$'in kuvvetinin negatif bir tam sayı olduğunu gösterir. Polinom tanımına göre değişkenlerin kuvvetleri negatif olamaz. Bu nedenle bu ifade bir polinom değildir.
- D) $4x^5 - \frac{1}{2}x^2 + 7$: Bu ifadede $x$'in kuvvetleri $5$, $2$ ve $0$ şeklindedir. Katsayı olan $-\frac{1}{2}$ bir gerçek sayıdır ve polinom tanımına aykırı değildir. Tüm kuvvetler negatif olmayan tam sayılar olduğu için bu ifade bir polinomdur.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, $2x^{-1} + 3x + 1$ ifadesindeki $x^{-1}$ terimi nedeniyle bu ifadenin bir polinom olmadığını görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
