Bir matematik öğretmeni tahtaya "Polinom olma şartları: 1) Değişkenlerin kuvvetleri doğal sayı olmalı 2) Katsayılar gerçek sayı olmalı" yazmıştır.
Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi bu şartları sağlayan bir polinomdur?
A) $x^{1/2} + 3x - 2$
B) $2x^3 - \sqrt{x} + 5$
C) $4x^4 - 3x^2 + \pi$
D) $\frac{1}{x} + 2x^2 - 1$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bir ifadenin polinom olabilmesi için iki temel şartı sağlaması gerekir. Bu şartlar soruda da belirtildiği gibi:
- 1) Değişkenlerin kuvvetleri doğal sayı olmalı: Doğal sayılar kümesi $N = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ şeklinde ifade edilir. Yani değişkenin kuvveti negatif bir tam sayı, kesirli bir sayı veya köklü bir ifade olamaz.
- 2) Katsayılar gerçek sayı olmalı: Katsayılar, yani değişkenlerin önündeki sayılar, gerçek sayılar kümesi $R$ içinde yer almalıdır. Gerçek sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayıların tümünü kapsar.
Şimdi seçenekleri bu iki şarta göre tek tek inceleyelim:
- A) $x^{1/2} + 3x - 2$
- Buradaki ilk terim $x^{1/2}$'dir. Değişken $x$'in kuvveti $1/2$'dir. $1/2$ bir doğal sayı değildir (kesirli bir sayıdır).
- Bu nedenle, bu ifade polinom olma şartlarından birincisini sağlamaz.
- B) $2x^3 - \sqrt{x} + 5$
- Bu ifadede $\sqrt{x}$ terimi bulunmaktadır. $\sqrt{x}$ ifadesini üslü biçimde yazarsak $x^{1/2}$ olur.
- Değişken $x$'in kuvveti $1/2$'dir. $1/2$ bir doğal sayı değildir.
- Bu nedenle, bu ifade de polinom olma şartlarından birincisini sağlamaz.
- C) $4x^4 - 3x^2 + \pi$
- Bu ifadede terimlerin kuvvetlerine bakalım: $4x^4$ teriminde kuvvet $4$'tür. $-3x^2$ teriminde kuvvet $2$'dir. $\pi$ terimi ise $\pi x^0$ olarak düşünülebilir ve kuvvet $0$'dır. $4, 2, 0$ hepsi birer doğal sayıdır.
- Şimdi katsayılara bakalım: $4x^4$ teriminin katsayısı $4$'tür. $-3x^2$ teriminin katsayısı $-3$'tür. Sabit terim $\pi$'dir. $4, -3, \pi$ hepsi birer gerçek sayıdır.
- Her iki şart da sağlanmaktadır.
- Bu nedenle, bu ifade bir polinomdur.
- D) $\frac{1}{x} + 2x^2 - 1$
- Buradaki ilk terim $\frac{1}{x}$'dir. Bu ifadeyi üslü biçimde yazarsak $x^{-1}$ olur.
- Değişken $x$'in kuvveti $-1$'dir. $-1$ bir doğal sayı değildir (negatif bir tam sayıdır).
- Bu nedenle, bu ifade de polinom olma şartlarından birincisini sağlamaz.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece C seçeneğindeki ifadenin polinom olma şartlarını sağladığını görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
