Limitte belirsizlik durumları nelerdir Test 2

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3+2x}{4x^2-3}$ limiti için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) 0'dır
B) $\frac{1}{4}$'tür
C) $\infty$'dur
D) Belirsizdir

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir rasyonel fonksiyonun sonsuzdaki limitini bulacağız. Adım adım ilerleyerek konuyu pekiştirelim.

• 1. Adım: Limit İfadesini İnceleyelim

  Bize verilen limit ifadesi şudur: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3+2x}{4x^2-3}$. Bu, $x$ sonsuza giderken bir rasyonel fonksiyonun (iki polinomun oranı) limitidir.

• 2. Adım: Sonsuzda Belirsizlik Durumunu Tespit Edelim

  $x \to \infty$ iken pay ve paydayı ayrı ayrı inceleyelim:

  • Pay: $x^3+2x$. $x$ sonsuza giderken, $x^3$ terimi çok hızlı büyür ve $2x$ terimini domine eder. Dolayısıyla, $x^3+2x \to \infty$.
  • Payda: $4x^2-3$. $x$ sonsuza giderken, $4x^2$ terimi çok hızlı büyür ve $-3$ terimini domine eder. Dolayısıyla, $4x^2-3 \to \infty$.

  Bu durumda, $\frac{\infty}{\infty}$ şeklinde bir belirsizlik durumu ile karşı karşıyayız. Bu tür belirsizlikleri gidermek için farklı yöntemler kullanırız.

• 3. Adım: Polinomların Derecelerini Karşılaştıralım

  Rasyonel fonksiyonların sonsuzdaki limitlerini bulurken en yaygın yöntemlerden biri, pay ve paydadaki polinomların derecelerini karşılaştırmaktır:

  • Paydaki polinom ($x^3+2x$) için en yüksek dereceli terim $x^3$'tür. Yani payın derecesi $3$'tür.
  • Paydadaki polinom ($4x^2-3$) için en yüksek dereceli terim $4x^2$'dir. Yani paydanın derecesi $2$'dir.

  Burada payın derecesi ($3$), paydanın derecesinden ($2$) daha büyüktür ($3 > 2$).

• 4. Adım: Derece Karşılaştırma Kuralını Uygulayalım

  Rasyonel fonksiyonların sonsuzdaki limitleri için genel bir kural vardır:

  • Eğer payın derecesi paydanın derecesinden büyükse, limit $\infty$ veya $-\infty$ olur. İşaret, en yüksek dereceli terimlerin katsayılarının işaretine bağlıdır.
  • Eğer payın derecesi paydanın derecesinden küçükse, limit $0$ olur.
  • Eğer payın derecesi paydanın derecesine eşitse, limit, en yüksek dereceli terimlerin katsayılarının oranı olur.

  Bizim durumumuzda, payın derecesi paydanın derecesinden büyük olduğu için limit $\infty$ veya $-\infty$ olacaktır.

• 5. Adım: Limitin İşaretini Belirleyelim (Alternatif Yöntem: En Yüksek Dereceli Terime Bölme)

  Bu tür durumlarda, limiti daha kesin bir şekilde bulmak için pay ve paydayı, paydadaki en yüksek dereceli terime (veya genel olarak tüm ifadedeki en yüksek dereceli terime) bölebiliriz. Paydadaki en yüksek dereceli terim $x^2$'dir. Her iki tarafı da $x^2$'ye bölelim:

  $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{x^2}+\frac{2x}{x^2}}{\frac{4x^2}{x^2}-\frac{3}{x^2}}$

  Bu ifadeyi sadeleştirelim:

  $\lim_{x \to \infty} \frac{x+\frac{2}{x}}{4-\frac{3}{x^2}}$

  Şimdi $x \to \infty$ iken her bir terimin limitini alalım:

  • $x \to \infty$
  • $\frac{2}{x} \to 0$ (çünkü bir sabit sayıyı sonsuza böldüğümüzde $0$ elde ederiz)
  • $4 \to 4$
  • $\frac{3}{x^2} \to 0$ (yine bir sabit sayıyı sonsuza böldüğümüzde $0$ elde ederiz)

  Bu değerleri yerine koyarsak:

  $\frac{\infty+0}{4-0} = \frac{\infty}{4} = \infty$

  Gördüğümüz gibi, limit $\infty$'dur.

Bu durumda, doğru seçenek C şıkkıdır.

Cevap C seçeneğidir.