Limitte belirsizlik durumları nelerdir Test 2

$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$ limitinin değeri nedir?

A) 0
B) $\frac{1}{2}$
C) 1
D) 2

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu limit sorusunu adım adım, anlaşılır bir şekilde çözelim. Amacımız, $x$ sıfıra yaklaşırken verilen ifadenin hangi değere yaklaştığını bulmaktır.

• Adım 1: Limit İfadesini İnceleme ve Belirsizlik Durumunu Tespit Etme

  Öncelikle, $x \to 0$ durumunda ifadenin pay ve paydasının neye yaklaştığını kontrol edelim:

  • Pay: $1 - \cos x$. $x=0$ için $1 - \cos 0 = 1 - 1 = 0$.
  • Payda: $x^2$. $x=0$ için $0^2 = 0$.

  Gördüğümüz gibi, limit $\frac{0}{0}$ belirsiz formundadır. Bu tür belirsizlikleri çözmek için L'Hôpital Kuralı'nı veya trigonometrik özdeşlikleri kullanabiliriz. Biz burada L'Hôpital Kuralı'nı tercih edelim, çünkü genellikle daha sistematik bir yaklaşımdır.

• Adım 2: L'Hôpital Kuralı'nı Uygulama (Birinci Kez)

  L'Hôpital Kuralı, $\frac{0}{0}$ veya $\frac{\infty}{\infty}$ belirsizliklerinde, payın ve paydanın türevlerini alarak limiti yeniden hesaplamamızı sağlar.

  • Payın türevi: $\frac{d}{dx}(1 - \cos x) = 0 - (-\sin x) = \sin x$.
  • Paydanın türevi: $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$.

  Şimdi yeni limit ifademiz şöyledir: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x}$.

• Adım 3: Yeni Limit İfadesini Kontrol Etme ve Gerekirse L'Hôpital Kuralı'nı Tekrar Uygulama

  Yeni limit ifadesinde $x \to 0$ için tekrar kontrol edelim:

  • Pay: $\sin x$. $x=0$ için $\sin 0 = 0$.
  • Payda: $2x$. $x=0$ için $2 \cdot 0 = 0$.

  Yine $\frac{0}{0}$ belirsizliğiyle karşılaştık. Bu durumda L'Hôpital Kuralı'nı bir kez daha uygulayabiliriz.

  • Payın türevi: $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$.
  • Paydanın türevi: $\frac{d}{dx}(2x) = 2$.

  Şimdi limit ifademiz şuna dönüştü: $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2}$.

• Adım 4: Limitin Değerini Hesaplama

  Son limit ifadesinde $x \to 0$ değerini yerine koyalım:

  $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{\cos 0}{2} = \frac{1}{2}$.

  Bu ifade artık belirsiz değildir ve limitin değeri $\frac{1}{2}$ olarak bulunur.

Bu adımları takip ederek, başlangıçtaki limitin değerini kolayca bulmuş olduk.

Cevap B seçeneğidir.