Üçgende Dış Açıortay Teoremi Nedir? Test 2

ABC üçgeninde [AD] dış açıortay, |AB| = 10 cm, |AC| = 15 cm ve |BD| = 12 cm'dir. Buna göre |DC| kaç cm'dir?

A) 8
B) 12
C) 16
D) 18

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir üçgende dış açıortay teoremini kullanacağız. Dış açıortay teoremi, bir üçgenin bir köşesindeki dış açıyı iki eşit parçaya bölen doğrunun, karşı kenarı (uzantısını) kestiği noktayla ilgili önemli bir ilişkiyi ifade eder.

• Dış Açıortay Teoremini Hatırlayalım: Bir üçgende bir köşeden çizilen dış açıortay, karşı kenarın uzantısını kestiği noktayı, üçgenin diğer iki kenarının oranına göre böler. Yani, ABC üçgeninde A köşesinden çizilen dış açıortay [AD] ise, $|AB|$ kenarının $|AC|$ kenarına oranı, $|BD|$ uzunluğunun $|CD|$ uzunluğuna oranına eşittir. Matematiksel olarak bu durumu $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|CD|}$ şeklinde ifade ederiz.
• Verilen Bilgileri Belirleyelim:
  • $|AB| = 10$ cm
  • $|AC| = 15$ cm
  • $|BD| = 12$ cm
  • Bizden istenen $|DC|$ uzunluğudur. Bu uzunluğa $x$ diyelim. Yani $|DC| = x$.
• Teoremi Uygulayalım: Şimdi dış açıortay teoremini verilen değerlerle yazalım:

  $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|CD|}$

  $\frac{10}{15} = \frac{12}{x}$

• Denklemi Çözelim:
  • Öncelikle eşitliğin sol tarafındaki kesri sadeleştirelim. Hem 10 hem de 15, 5 ile bölünebilir:

    $\frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$

    Şimdi denklemimiz şu hale geldi:

    $\frac{2}{3} = \frac{12}{x}$

  • Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak $x$ değerini bulalım:

    $2 \times x = 3 \times 12$

    $2x = 36$

  • Her iki tarafı 2'ye bölerek $x$'i yalnız bırakalım:

    $x = \frac{36}{2}$

    $x = 18$

• Sonucu Belirtelim: Buna göre $|DC|$ uzunluğu $18$ cm'dir.

Cevap D seçeneğidir.