Bir üçgende iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenarın uzunluğundan büyük, farkının mutlak değeri ise üçüncü kenarın uzunluğundan küçüktür.
Buna göre aşağıdaki kenar uzunluklarından hangisi ile bir üçgen oluşturulamaz?
A) 5 cm, 12 cm, 13 cm
B) 7 cm, 24 cm, 25 cm
C) 3 cm, 4 cm, 8 cm
D) 6 cm, 8 cm, 10 cm
Sevgili öğrenciler, bir üçgenin oluşabilmesi için kenar uzunlukları arasında belirli bir ilişki olması gerekir. Bu ilişkiye "Üçgen Eşitsizliği" denir. Soru da tam olarak bu kuralı hatırlatıyor ve hangi kenar uzunluklarının bir üçgen oluşturamayacağını bulmamızı istiyor.
- Üçgen Eşitsizliği Kuralı: Bir üçgende herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalı, farkının mutlak değeri ise üçüncü kenarın uzunluğundan küçük olmalıdır. Eğer kenar uzunlukları $a$, $b$ ve $c$ ise, bu kural matematiksel olarak şöyle ifade edilir:
- $|a-b| < c < a+b$
- $|a-c| < b < a+c$
- $|b-c| < a < b+c$
Bu üç eşitsizlikten herhangi biri sağlanmazsa, o kenar uzunluklarıyla bir üçgen oluşturulamaz. Genellikle, en uzun kenarı $c$ olarak alıp, diğer iki kenarın ($a$ ve $b$) toplamının $c$'den büyük olup olmadığını kontrol etmek yeterlidir ($a+b > c$). Çünkü bu koşul sağlanmazsa, diğer koşullar da genellikle sağlanmaz veya üçgen oluşmaz.
- Şimdi verilen seçenekleri bu kurala göre tek tek inceleyelim:
- A) 5 cm, 12 cm, 13 cm:
- En uzun kenar $13$ cm. Diğer iki kenarın toplamı $5 + 12 = 17$ cm.
- $17 > 13$ olduğu için toplam koşulu sağlanır.
- Fark koşulunu da kontrol edelim: $|12-5| = 7$ cm. $7 < 13$ olduğu için fark koşulu da sağlanır.
- Yani, $7 < 13 < 17$ eşitsizliği geçerlidir. Bu kenar uzunluklarıyla bir üçgen oluşturulabilir. (Bu aynı zamanda bir dik üçgendir, $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$).
- B) 7 cm, 24 cm, 25 cm:
- En uzun kenar $25$ cm. Diğer iki kenarın toplamı $7 + 24 = 31$ cm.
- $31 > 25$ olduğu için toplam koşulu sağlanır.
- Fark koşulunu da kontrol edelim: $|24-7| = 17$ cm. $17 < 25$ olduğu için fark koşulu da sağlanır.
- Yani, $17 < 25 < 31$ eşitsizliği geçerlidir. Bu kenar uzunluklarıyla bir üçgen oluşturulabilir. (Bu da bir dik üçgendir, $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$).
- C) 3 cm, 4 cm, 8 cm:
- En uzun kenar $8$ cm. Diğer iki kenarın toplamı $3 + 4 = 7$ cm.
- Burada dikkat edelim: $7 > 8$ koşulu sağlanmıyor! Çünkü $7$ sayısı $8$'den büyük değildir.
- Bu durumda, üçgen eşitsizliğinin önemli bir kısmı sağlanmadığı için bu kenar uzunluklarıyla bir üçgen oluşturulamaz. Üçgenin iki kenarı birleştiğinde üçüncü kenara yetişemez.
- D) 6 cm, 8 cm, 10 cm:
- En uzun kenar $10$ cm. Diğer iki kenarın toplamı $6 + 8 = 14$ cm.
- $14 > 10$ olduğu için toplam koşulu sağlanır.
- Fark koşulunu da kontrol edelim: $|8-6| = 2$ cm. $2 < 10$ olduğu için fark koşulu da sağlanır.
- Yani, $2 < 10 < 14$ eşitsizliği geçerlidir. Bu kenar uzunluklarıyla bir üçgen oluşturulabilir. (Bu da bir dik üçgendir, $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$).
Yapılan incelemeler sonucunda, C seçeneğindeki $3$ cm, $4$ cm ve $8$ cm kenar uzunluklarının üçgen eşitsizliğini sağlamadığı görülmüştür. Bu nedenle, bu kenar uzunluklarıyla bir üçgen oluşturulamaz.
Cevap C seçeneğidir.
