Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek dairenin çevresi ve daire diliminin alanı arasındaki ilişkiyi daha iyi anlayalım. Haydi başlayalım!
- 1. Adım: Çemberin Yarıçapını Bulma
- Soruda bize çemberin çevresinin $36\pi$ cm olduğu verilmiş. Çemberin çevresi formülü $C = 2\pi r$'dir, burada $r$ yarıçaptır.
- Verilen bilgiyi formülde yerine koyalım: $2\pi r = 36\pi$.
- Eşitliğin her iki tarafındaki $\pi$ değerlerini sadeleştirelim: $2r = 36$.
- Her iki tarafı $2$'ye bölerek yarıçapı bulalım: $r = \frac{36}{2} = 18$ cm.
- Demek ki çemberimizin yarıçapı $18$ cm'dir.
- 2. Adım: Tüm Dairenin Alanını Bulma
- Şimdi, yarıçapını bulduğumuz bu çemberin tüm alanını hesaplayalım. Dairenin alanı formülü $A_{daire} = \pi r^2$'dir.
- Bulduğumuz yarıçap değerini ($r=18$) formülde yerine koyalım: $A_{daire} = \pi (18)^2$.
- $18^2$ işlemini yapalım: $18 \times 18 = 324$.
- Yani, tüm dairenin alanı $A_{daire} = 324\pi$ cm²'dir.
- 3. Adım: Daire Diliminin Alanını Bulma
- Bizden istenen, merkez açısı $120^\circ$ olan daire diliminin alanıdır. Bir daire diliminin alanı, tüm dairenin alanının, merkez açısının $360^\circ$'ye oranına eşittir.
- Daire diliminin alanı formülü: $A_{dilim} = A_{daire} \times \frac{\text{merkez açı}}{360^\circ}$.
- Bulduğumuz tüm dairenin alanını ($324\pi$) ve verilen merkez açıyı ($120^\circ$) formülde yerine koyalım: $A_{dilim} = 324\pi \times \frac{120^\circ}{360^\circ}$.
- $\frac{120^\circ}{360^\circ}$ kesrini sadeleştirelim. $120^\circ$, $360^\circ$'nin üçte biridir, yani $\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$.
- Şimdi işlemi tamamlayalım: $A_{dilim} = 324\pi \times \frac{1}{3}$.
- $324\pi$'yi $3$'e bölelim: $A_{dilim} = \frac{324\pi}{3} = 108\pi$ cm².
Böylece, merkez açısı $120^\circ$ olan daire diliminin alanını $108\pi$ cm² olarak bulmuş olduk.
Cevap D seçeneğidir.
