Parçalı fonksiyonun türevi Test 1

Bir şirketin kar fonksiyonu
\[ P(x) = \begin{cases} 100x - x^2, & x \leq 50 \\ kx + 2500, & x > 50 \end{cases} \]
olarak belirlenmiştir. \( P(x) \) fonksiyonu \( x = 50 \) noktasında türevli olduğuna göre \( k \) kaçtır?

A) -50
B) 0
C) 50
D) 100

Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Türevlenebilirlik kavramını kullanarak \(k\) değerini bulacağız.

• Adım 1: Türevlenebilirlik İçin Gereken Şartlar

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktada sürekli olması ve sol ve sağ türevlerinin birbirine eşit olması gerekir.

• Adım 2: Süreklilik Kontrolü

Öncelikle \(x = 50\) noktasında fonksiyonun sürekli olup olmadığını kontrol edelim. Süreklilik için sol ve sağ limitlerin birbirine eşit olması gerekir.

• Sol limit: \( \lim_{x \to 50^-} P(x) = \lim_{x \to 50^-} (100x - x^2) = 100(50) - (50)^2 = 5000 - 2500 = 2500 \)
• Sağ limit: \( \lim_{x \to 50^+} P(x) = \lim_{x \to 50^+} (kx + 2500) = k(50) + 2500 \)

Süreklilik için sol ve sağ limitler eşit olmalı: \( 2500 = 50k + 2500 \). Buradan \( 50k = 0 \) ve \( k = 0 \) bulunur.

• Adım 3: Türevleri Hesaplama

\(x = 50\) noktasındaki sol ve sağ türevleri hesaplayalım.

• Sol türev: \( P'(x) = 100 - 2x \) \( (x \leq 50) \) için. \( P'(50^-) = 100 - 2(50) = 100 - 100 = 0 \)
• Sağ türev: \( P'(x) = k \) \( (x > 50) \) için. \( P'(50^+) = k \)
• Adım 4: Türevlerin Eşitlenmesi

Türevlenebilirlik için sol ve sağ türevler eşit olmalı: \( P'(50^-) = P'(50^+) \). Yani, \( 0 = k \).

• Adım 5: Sonuç

Hem süreklilik hem de türevlenebilirlik şartını sağlayan \(k\) değeri \(0\) olmalıdır.

Cevap B seçeneğidir.