Polinom bölmesinde kalan nasıl bulunur Test 1

Bir P(x) polinomunun (x-2) ile bölümünden kalan 5, (x+1) ile bölümünden kalan -1'dir. Buna göre P(x) polinomunun (x²-x-2) ile bölümünden kalan nedir?

A) 2x+1
B) 2x-1
C) x+3
D) x-3

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir polinomun farklı çarpanlara bölümünden kalanları kullanarak, bu çarpanların çarpımına bölümünden kalanı bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:

• Bir $P(x)$ polinomunun $(x-2)$ ile bölümünden kalan $5$ ise, Kalan Teoremi'ne göre $P(2) = 5$ demektir.

• Bir $P(x)$ polinomunun $(x+1)$ ile bölümünden kalan $-1$ ise, Kalan Teoremi'ne göre $P(-1) = -1$ demektir.

• 2. Bölme İşlemini Genel Şekilde Yazalım:

• Bizden $P(x)$ polinomunun $(x^2-x-2)$ ile bölümünden kalanı bulmamız isteniyor. Bir polinom $Q(x)$ ile bölündüğünde, kalan $K(x)$'in derecesi $Q(x)$'in derecesinden küçük olmalıdır.

• Burada bölen polinom $x^2-x-2$ (2. dereceden bir polinom) olduğu için, kalan $K(x)$ en fazla 1. dereceden bir polinom olmalıdır. Yani, $K(x) = ax+b$ şeklinde bir ifade olacaktır.

• Bu durumda, $P(x)$ polinomunu şu şekilde yazabiliriz:

  $P(x) = (x^2-x-2) \cdot B(x) + (ax+b)$

  Burada $B(x)$ bölüm polinomudur.

• 3. Bölen Polinomu Çarpanlarına Ayıralım:

• Bölen polinom $x^2-x-2$ ifadesini çarpanlarına ayıralım:

  $x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$

• 4. Denklemi Yeniden Yazalım:

• Şimdi $P(x)$ denklemini çarpanlarına ayrılmış bölen ile tekrar yazalım:

  $P(x) = (x-2)(x+1) \cdot B(x) + (ax+b)$

• 5. Verilen Bilgileri Kullanarak $a$ ve $b$ Değerlerini Bulalım:

• İlk bilgimiz $P(2) = 5$ idi. $x=2$ değerini denklemde yerine yazalım:

  $P(2) = (2-2)(2+1) \cdot B(2) + (a \cdot 2 + b)$

  $5 = (0)(3) \cdot B(2) + 2a + b$

  $5 = 0 + 2a + b$

  Yani, $2a+b = 5$ (Bu bizim birinci denklemimiz).

• İkinci bilgimiz $P(-1) = -1$ idi. $x=-1$ değerini denklemde yerine yazalım:

  $P(-1) = (-1-2)(-1+1) \cdot B(-1) + (a \cdot (-1) + b)$

  $-1 = (-3)(0) \cdot B(-1) - a + b$

  $-1 = 0 - a + b$

  Yani, $-a+b = -1$ (Bu da bizim ikinci denklemimiz).

• 6. Denklem Sistemini Çözelim:

• Elimizde iki bilinmeyenli iki denklem var:

  1) $2a+b = 5$

  2) $-a+b = -1$

• İkinci denklemi birinci denklemden çıkaralım (veya yok etme metoduyla çözelim):

  $(2a+b) - (-a+b) = 5 - (-1)$

  $2a+b+a-b = 5+1$

  $3a = 6$

  $a = 2$

• $a=2$ değerini ikinci denklemde yerine yazalım:

  $-2+b = -1$

  $b = -1+2$

  $b = 1$

• 7. Kalan Polinomu Bulalım:

• Kalan polinomumuz $K(x) = ax+b$ idi. Bulduğumuz $a=2$ ve $b=1$ değerlerini yerine yazarsak:

  $K(x) = 2x+1$

Buna göre, $P(x)$ polinomunun $(x^2-x-2)$ ile bölümünden kalan $2x+1$'dir.

Cevap A seçeneğidir.