Bir üretici, kenar uzunluğu x birim olan kare şeklindeki bir levhanın köşelerinden birer kenarı 2 birim olan kareler kesiyor ve kalan parçayı katlayarak üstü açık bir kutu yapıyor.
Kutunun hacmini veren polinom V(x) = 4x² - 16x + 16 olduğuna göre, bu polinomun (x-5) ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 16
B) 24
C) 32
D) 36
Sevgili öğrenciler, bu problemde bir kutunun hacmini veren bir polinomun, başka bir polinoma bölümünden kalanı bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözerken "Kalan Teoremi" adını verdiğimiz çok kullanışlı bir matematiksel kuraldan faydalanırız.
- Kalan Teoremi'ni Hatırlayalım: Bir $P(x)$ polinomunun $(x-a)$ ile bölümünden kalan, $P(a)$ değerine eşittir. Yani, bölen ifadeyi sıfıra eşitleyen $x$ değerini alıp, bu değeri polinomda yerine yazdığımızda doğrudan kalanı buluruz. Bu teorem, uzun bölme işlemi yapmadan kalanı hızlıca bulmamızı sağlar.
- Verilenleri Belirleyelim:
Kutunun hacmini veren polinom $V(x) = 4x^2 - 16x + 16$ olarak verilmiştir.
Bizden bu polinomun $(x-5)$ ile bölümünden kalan istenmektedir.
- Kalan Teoremi'ni Uygulayalım: Kalan Teoremi'ne göre, $V(x)$ polinomunun $(x-5)$ ile bölümünden kalanı bulmak için bölen ifadeyi sıfıra eşitleyen $x$ değerini bulup, bu değeri $V(x)$ polinomunda yerine yazmalıyız.
Bölen ifade $(x-5)$ olduğundan, $x-5 = 0$ denklemini çözelim:
$x = 5$
- $V(5)$ Değerini Hesaplayalım: Şimdi bulduğumuz $x=5$ değerini $V(x)$ polinomunda yerine yazarak kalanı bulalım:
$V(5) = 4(5)^2 - 16(5) + 16$
Öncelikle üslü ifadeyi hesaplayalım: $5^2 = 25$.
$V(5) = 4(25) - 16(5) + 16$
Şimdi çarpma işlemlerini yapalım: $4 \times 25 = 100$ ve $16 \times 5 = 80$.
$V(5) = 100 - 80 + 16$
Son olarak toplama ve çıkarma işlemlerini sırasıyla yapalım: $100 - 80 = 20$.
$V(5) = 20 + 16$
$V(5) = 36$
- Buna göre, $V(x)$ polinomunun $(x-5)$ ile bölümünden kalan $36$'dır.
Cevap D seçeneğidir.
