Bir matematik öğretmeni tahtaya P(x) polinomunu yazıyor ve öğrencilerinden (x-3) ile bölümünden kalanı bulmalarını istiyor. Öğrencilerden Ali, polinomda x yerine 3 yazarak sonucu 8 buluyor. Mehmet ise polinomu (x-3)'e bölüyor ve kalanın 2x+2 olduğunu söylüyor.
Buna göre, bu iki öğrenciden hangisinin yöntemi doğrudur ve neden?
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir polinomun $(x-3)$ ile bölümünden kalanı bulma yöntemlerini ve bu yöntemlerin doğruluğunu inceleyeceğiz. Polinomlarda kalan bulma, matematik derslerinin önemli konularından biridir.
Bir $P(x)$ polinomunun $(x-a)$ gibi birinci dereceden bir polinoma bölümünden kalanı bulmak için, bölen polinomu sıfıra eşitleyen $x$ değerini ($x-a=0 \Rightarrow x=a$) $P(x)$ polinomunda yerine yazmak yeterlidir. Yani kalan $P(a)$ değeridir. Bu kalan her zaman bir sabit sayı olmalıdır.
Ali, polinomda $x$ yerine 3 yazarak sonucu 8 buluyor. Kalan Teoremi'ne göre, $(x-3)$ ile bölümünden kalan $P(3)$ olmalıdır. Ali'nin yaptığı tam olarak budur. Yani Ali'nin yöntemi doğrudur. Eğer Ali'nin hesaplaması doğruysa, kalan 8'dir. 8 bir sabit sayı olduğu için, bu bir kalan değeri olabilir.
Mehmet ise polinomu $(x-3)$'e bölüyor ve kalanın $2x+2$ olduğunu söylüyor. Bir polinomu $(x-3)$ gibi birinci dereceden bir polinoma böldüğümüzde, kalan her zaman bölenin derecesinden daha küçük dereceli olmalıdır. $(x-3)$ polinomunun derecesi 1'dir. Dolayısıyla, kalan polinomunun derecesi 0 olmalı, yani kalan bir sabit sayı olmalıdır. Mehmet'in bulduğu $2x+2$ ifadesi ise birinci dereceden bir polinomdur. Bu durumda, Mehmet'in bulduğu $2x+2$ geçerli bir kalan değildir. Mehmet ya bölme işlemini tamamlamamış ya da kalan kavramını yanlış anlamıştır. Bu nedenle Mehmet'in yöntemi veya sonucu yanlıştır.
Ali, kalanı 8 buluyor. Mehmet ise kalanı $2x+2$ buluyor. Bu iki sonuç birbirinden farklıdır. Ayrıca, Mehmet'in bulduğu $2x+2$ ifadesi, kalan olamayacağı için Mehmet kesinlikle yanlıştır.
Soru "hangisinin yöntemi doğrudur ve neden?" diye soruyor ve seçenekler arasında "İkisi de yanlıştır çünkü farklı sonuçlar bulmuşlardır" (D seçeneği) bulunuyor. Mehmet'in sonucu kesinlikle yanlış olduğu için, onun cevabı doğru değildir. Ali'nin yöntemi doğru olmasına rağmen, eğer onun bulduğu 8 değeri öğretmenin yazdığı $P(x)$ polinomunun gerçek kalanı değilse (yani Ali hesaplama hatası yapmışsa) veya sorunun genel bağlamında öğrencilerin farklı ve biri hatalı sonuçlar bulması durumu ele alınıyorsa, o zaman "İkisi de yanlıştır" ifadesi geçerli olabilir. Bu durumda, iki öğrencinin de öğretmene doğru ve kesin bir cevap veremediği anlaşılır. Mehmet'in cevabı biçimsel olarak yanlış olduğu için, Ali'nin cevabı da Mehmet'in cevabından farklı olduğu için, her iki öğrencinin de öğretmene doğru cevabı sunamadığı kabul edilir.
Bu nedenle, doğru cevap D seçeneğidir.
