İçi boş bir silindirik kabuğun hacmini bulmak için, dıştaki büyük silindirin hacminden içteki boş silindirin hacmini çıkarmamız gerekir. Bu, bir borunun veya kalın duvarlı bir silindirin içindeki malzeme miktarını bulmak gibidir. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Verilen Bilgileri Belirleyelim:
Soruda bize iç yarıçap ($r_i$), dış yarıçap ($r_d$) ve yükseklik ($h$) verilmiştir.
İç yarıçap ($r_i$) = 3 cm.
Dış yarıçap ($r_d$) = 5 cm.
Yükseklik ($h$) = 8 cm.
- 2. Silindirin Hacim Formülünü Hatırlayalım:
Bir silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir. Taban alanı bir daire olduğu için formül şöyledir: $V = \pi r^2 h$. Burada $r$ yarıçapı, $h$ ise yüksekliği temsil eder.
- 3. Dış Silindirin Hacmini Hesaplayalım ($V_{dış}$):
Önce dıştaki büyük silindirin hacmini bulalım. Bu silindirin yarıçapı $r_d = 5$ cm ve yüksekliği $h = 8$ cm'dir. Formülü kullanarak hesaplayalım:
$V_{dış} = \pi r_d^2 h = \pi (5 \text{ cm})^2 (8 \text{ cm})$
$V_{dış} = \pi (25 \text{ cm}^2) (8 \text{ cm})$
$V_{dış} = 200 \pi \text{ cm}^3$.
- 4. İç Silindirin Hacmini Hesaplayalım ($V_{iç}$):
Şimdi de içteki boş silindirin hacmini bulalım. Bu silindirin yarıçapı $r_i = 3$ cm ve yüksekliği $h = 8$ cm'dir. Formülü kullanarak hesaplayalım:
$V_{iç} = \pi r_i^2 h = \pi (3 \text{ cm})^2 (8 \text{ cm})$
$V_{iç} = \pi (9 \text{ cm}^2) (8 \text{ cm})$
$V_{iç} = 72 \pi \text{ cm}^3$.
- 5. Kabuğun Hacmini Bulalım ($V_{kabuk}$):
Kabuğun gerçek hacmi, dış silindirin hacminden içteki boş silindirin hacminin çıkarılmasıyla bulunur:
$V_{kabuk} = V_{dış} - V_{iç}$
$V_{kabuk} = 200 \pi \text{ cm}^3 - 72 \pi \text{ cm}^3$
$V_{kabuk} = (200 - 72) \pi \text{ cm}^3$
$V_{kabuk} = 128 \pi \text{ cm}^3$.
- 6. Alternatif Yöntem (Daha Hızlı ve Doğrudan Formül):
Kabuğun hacmini doğrudan şu formülle de bulabiliriz: $V_{kabuk} = \pi h (r_d^2 - r_i^2)$. Bu formül, iki ayrı hacim hesaplayıp çıkarmak yerine, işlemi tek bir adımda yapmamızı sağlar.
Verilen değerleri bu formülde yerine yazalım:
$V_{kabuk} = \pi (8 \text{ cm}) ((5 \text{ cm})^2 - (3 \text{ cm})^2)$
$V_{kabuk} = \pi (8 \text{ cm}) (25 \text{ cm}^2 - 9 \text{ cm}^2)$
$V_{kabuk} = \pi (8 \text{ cm}) (16 \text{ cm}^2)$
$V_{kabuk} = 128 \pi \text{ cm}^3$.
Her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık. Bu da çözümümüzün doğruluğunu teyit eder. Kabuğun hacmi $128 \pi \text{ cm}^3$'tür.
Cevap A seçeneğidir.
