Silindir prizmaya benzeyen nesneler Test 1

Bir silindirin yarıçapı %50 artırılıp, yüksekliği %50 azaltılırsa, hacmindeki değişim nasıl olur?

A) %12.5 artar
B) %12.5 azalır
C) Değişmez
D) %25 artar

Bir silindirin hacmindeki değişimi bulmak için adım adım ilerleyelim:

• 1. Silindirin Hacim Formülü:

Bir silindirin hacmi $V$, yarıçapı $r$ ve yüksekliği $h$ olmak üzere aşağıdaki formülle hesaplanır:

$V = \pi r^2 h$

• 2. Başlangıç Durumu:

Başlangıçtaki yarıçapı $r_1$ ve yüksekliği $h_1$ olarak kabul edelim. Bu durumda başlangıç hacmi $V_1$ şu şekildedir:

$V_1 = \pi r_1^2 h_1$

• 3. Yarıçaptaki Değişim:

Yarıçap %50 artırılıyor. Bu, yarıçapın kendisinin %50'si kadar artması demektir. Yani, yeni yarıçap $r_2$ eski yarıçapın $1 + 0.50 = 1.5$ katı olur:

$r_2 = r_1 + 0.50 r_1 = 1.5 r_1$

• 4. Yükseklikteki Değişim:

Yükseklik %50 azaltılıyor. Bu, yüksekliğin kendisinin %50'si kadar azalması demektir. Yani, yeni yükseklik $h_2$ eski yüksekliğin $1 - 0.50 = 0.5$ katı olur:

$h_2 = h_1 - 0.50 h_1 = 0.5 h_1$

• 5. Yeni Hacmin Hesaplanması:

Yeni yarıçap $r_2$ ve yeni yükseklik $h_2$ değerlerini hacim formülüne yerleştirerek yeni hacmi $V_2$ bulalım:

$V_2 = \pi (r_2)^2 (h_2)$

$V_2 = \pi (1.5 r_1)^2 (0.5 h_1)$

$V_2 = \pi (2.25 r_1^2) (0.5 h_1)$

$V_2 = (2.25 \times 0.5) \times \pi r_1^2 h_1$

$V_2 = 1.125 \times \pi r_1^2 h_1$

• 6. Hacimdeki Yüzdesel Değişimin Belirlenmesi:

Yeni hacmi başlangıç hacmiyle karşılaştıralım. Başlangıç hacmi $V_1 = \pi r_1^2 h_1$ idi. O halde, $V_2 = 1.125 V_1$ olur.

Bu, yeni hacmin eski hacmin $1.125$ katı olduğu anlamına gelir. Değişim katsayısı $1.125$'tir.

Yüzdesel değişim ise şu şekilde hesaplanır:

$\text{Yüzdesel Değişim} = (1.125 - 1) \times 100\% = 0.125 \times 100\% = 12.5\%$

Bu durumda, hacim %12.5 oranında değişir.

Cevap B seçeneğidir.