f(x) = x³ - 3x + 1 fonksiyonu için yatay doğru testi uygulandığında aşağıdakilerden hangisi gözlemlenir?
A) Bazı yatay doğrular grafiği üç noktada keserBugün, bir fonksiyonun birebir olup olmadığını anlamamıza yardımcı olan önemli bir araç olan Yatay Doğru Testi'ni inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = x^3 - 3x + 1$.
Yatay doğru testi, bir fonksiyonun grafiğine yatay çizgiler çizerek, bu çizgilerin grafiği kaç noktada kestiğini gözlemlememizi sağlayan bir yöntemdir. Eğer herhangi bir yatay doğru grafiği birden fazla noktada kesiyorsa, o fonksiyon birebir değildir. Eğer tüm yatay doğrular grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa (yani hiç kesmiyorsa veya sadece bir noktada kesiyorsa), o fonksiyon birebirdir.
Verilen fonksiyon $f(x) = x^3 - 3x + 1$ bir kübik (üçüncü dereceden) polinomdur. Kübik polinomların grafikleri genellikle bir "S" şekline sahiptir ve yerel maksimum ile yerel minimum noktaları içerebilirler. Bu tür fonksiyonlar genellikle birebir değildir.
Bir fonksiyonun yerel maksimum ve minimum noktalarını bulmak için türevini alıp sıfıra eşitleriz. Bu noktalar, fonksiyonun artmaktan azalmaya veya azalmaktan artmaya geçtiği yerlerdir.
Önce $f(x)$'in türevini alalım: $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 1) = 3x^2 - 3$.
Şimdi türevi sıfıra eşitleyelim: $3x^2 - 3 = 0$.
Denklemi çözelim: $3(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1$.
Bu bize iki kritik nokta verir: $x = 1$ ve $x = -1$.
Bu kritik noktalarda fonksiyonun hangi değerleri aldığını bulalım:
$x = 1$ için: $f(1) = (1)^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$. Bu bir yerel minimum noktasıdır.
$x = -1$ için: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$. Bu bir yerel maksimum noktasıdır.
Bu değerler bize grafiğin şekli hakkında önemli ipuçları verir. Grafik, $x \to -\infty$ iken $-\infty$'dan gelir, $x=-1$ noktasında $y=3$ yerel maksimumuna ulaşır, sonra $x=1$ noktasında $y=-1$ yerel minimumuna düşer ve $x \to \infty$ iken $+\infty$'a doğru yükselir.
Şimdi bu grafiği zihnimizde canlandıralım veya kabaca çizelim:
Eğer $y=c$ şeklinde bir yatay doğru çizersek ve bu $c$ değeri yerel minimum ($y=-1$) ile yerel maksimum ($y=3$) arasında ise (yani $-1 < c < 3$), bu yatay doğru grafiği üç farklı noktada kesecektir. Örneğin, $y=0$ doğrusu grafiği üç noktada keser.
Eğer $c = 3$ veya $c = -1$ ise, yatay doğru grafiği iki noktada keser (bir teğet noktası ve bir kesen nokta).
Eğer $c > 3$ veya $c < -1$ ise, yatay doğru grafiği sadece bir noktada keser.
Gözlemlerimize göre, fonksiyonun grafiğini bazı yatay doğrular üç noktada kesmektedir.
A) Bazı yatay doğrular grafiği üç noktada keser: Bu, bizim bulgularımızla tamamen uyumludur (örneğin $y=0$ doğrusu).
B) Tüm yatay doğrular grafiği bir noktada keser: Bu, fonksiyonun birebir olduğu anlamına gelir ki bu fonksiyon için doğru değildir.
C) Tüm yatay doğrular grafiği iki noktada keser: Bu da doğru değildir, çünkü bazıları bir, bazıları üç noktada keser.
D) Yatay doğrular grafiği hiç kesmez: Bu mümkün değildir, çünkü kübik fonksiyonların görüntü kümesi tüm reel sayılardır.
Bu analizler sonucunda, doğru gözlemin A seçeneğinde belirtildiği gibi olduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
