Merhaba sevgili öğrenciler!
Bir fonksiyonun artan olduğu aralığı bulmak için türevini kullanırız. Temel kuralımız şudur: Bir fonksiyonun türevi pozitif ise, o fonksiyon artandır.
- Öncelikle, bize verilen fonksiyon $f(x) = e^{-x^2}$ ve türevi $f'(x) = -2xe^{-x^2}$ bilgisini not alalım.
- Fonksiyonun artan olduğu aralığı bulmak için türevinin pozitif olduğu durumu incelemeliyiz. Yani $f'(x) > 0$ eşitsizliğini çözmeliyiz.
- Türev ifadesini eşitsizliğe yazalım: $-2xe^{-x^2} > 0$.
- Şimdi bu eşitsizliği adım adım inceleyelim:
- $e^{-x^2}$ terimi: Üstel fonksiyonlar (tabanı pozitif olanlar) her zaman pozitiftir. Yani $e^{-x^2}$ ifadesi, $x$'in hangi değeri olursa olsun daima $0$'dan büyüktür ($e^{-x^2} > 0$). Bu terim eşitsizliğin işaretini değiştirmez.
- Eşitsizliğin işaretini belirleyen kısım $-2x$ terimidir.
- Eşitsizliği çözmek için, $e^{-x^2}$ terimi pozitif olduğu için her iki tarafı $e^{-x^2}$ ile bölebiliriz (eşitsizliğin yönü değişmez):
$-2x > 0$
- Şimdi $x$'i yalnız bırakmak için her iki tarafı $-2$ ile bölelim. Negatif bir sayıya böldüğümüzde eşitsizliğin yönü değişir:
$x < 0$
- Bu sonuç bize fonksiyonun $x$ değerleri $0$'dan küçük olduğunda artan olduğunu gösterir. $x < 0$ aralığı, $(-\infty, 0)$ şeklinde ifade edilir.
Bu durumda, fonksiyonun artan olduğu aralık $(-\infty, 0)$'dır.
Cevap A seçeneğidir.
