Vektörlerin bileşenlerine ayrılması (x ve y bileşenleri) Test 1

Bir oyuncak araba, doğu yönünde 8 m ve daha sonra kuzey yönünde 6 m hareket ediyor. Arabanın yer değiştirme vektörünün büyüklüğü ve yönü nedir?

A) 10 m, 37° kuzeydoğu
B) 14 m, 45° kuzeydoğu
C) 10 m, 53° kuzeydoğu
D) 14 m, 53° kuzeydoğu

Bu problemde, bir oyuncak arabanın ardışık iki hareketi sonucundaki toplam yer değiştirmesini bulacağız. Yer değiştirme, başlangıç noktasından bitiş noktasına olan en kısa mesafeyi ve bu mesafenin yönünü ifade eden vektörel bir büyüklüktür.

• 1. Adım: Hareketi Görselleştirme ve Bileşenleri Belirleme

  Oyuncak araba önce doğu yönünde 8 m, daha sonra kuzey yönünde 6 m hareket ediyor. Doğu ve kuzey yönleri birbirine dik olduğu için, bu iki hareketi bir dik üçgenin dik kenarları olarak düşünebiliriz. Bu durumda, arabanın başlangıç noktasından bitiş noktasına olan yer değiştirme vektörü, bu dik üçgenin hipotenüsü olacaktır.

  Yer değiştirme vektörünün yatay (doğu) bileşeni: $d_x = 8 \text{ m}$

  Yer değiştirme vektörünün düşey (kuzey) bileşeni: $d_y = 6 \text{ m}$

• 2. Adım: Yer Değiştirme Vektörünün Büyüklüğünü Hesaplama

  Yer değiştirme vektörünün büyüklüğü (hipotenüsün uzunluğu), Pisagor teoremi kullanılarak bulunur:

  $|\vec{d}| = \sqrt{d_x^2 + d_y^2}$

  Şimdi verilen değerleri formülde yerine koyalım:

  $|\vec{d}| = \sqrt{(8 \text{ m})^2 + (6 \text{ m})^2}$

  $|\vec{d}| = \sqrt{64 \text{ m}^2 + 36 \text{ m}^2}$

  $|\vec{d}| = \sqrt{100 \text{ m}^2}$

  $|\vec{d}| = 10 \text{ m}$

  Arabanın yer değiştirme vektörünün büyüklüğü $10 \text{ m}$'dir.

• 3. Adım: Yer Değiştirme Vektörünün Yönünü Hesaplama

  Yer değiştirme vektörünün yönünü bulmak için trigonometrik oranları kullanırız. Yön, genellikle yatay eksenle (doğu) veya dikey eksenle (kuzey) yapılan açı olarak ifade edilir. Seçeneklere baktığımızda, $53^\circ$ açısı, kuzey ekseninden doğuya doğru ölçülen açıya karşılık gelmektedir.

  Kuzey ekseni ile yapılan açıyı ($\theta$) bulmak için tanjant fonksiyonunu kullanabiliriz. Bu durumda, açının karşısındaki kenar doğu bileşeni ($d_x$) ve komşu kenarı kuzey bileşeni ($d_y$) olacaktır:

  $\tan \theta = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}} = \frac{d_x}{d_y}$

  Değerleri yerine koyalım:

  $\tan \theta = \frac{8 \text{ m}}{6 \text{ m}} = \frac{4}{3}$

  Bu açının değeri yaklaşık olarak $53^\circ$'dir (çünkü $\tan 53^\circ \approx 1.33$ ve $4/3 \approx 1.33$).

  Yani, yer değiştirme vektörü kuzey ekseninden doğuya doğru $53^\circ$ açıyla yer almaktadır. Bu yön "kuzeydoğu" olarak ifade edilir.

Sonuç olarak, arabanın yer değiştirme vektörünün büyüklüğü $10 \text{ m}$ ve yönü $53^\circ$ kuzeydoğu'dur.

Cevap C seçeneğidir.