a, b ve c birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. a + b + c = 15 olduğuna göre, a × b × c çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 90
B) 100
C) 110
D) 120
E) 130
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu birlikte adım adım çözerek çarpımın en büyük değerini bulmaya çalışalım. Unutmayın, matematik problemleri çözmek bir maceradır ve her adımda yeni bir şeyler öğreniriz!
- Adım 1: Anlamaya Çalışalım
- Soruda bize $a$, $b$ ve $c$ gibi üç farklı pozitif tam sayı verilmiş.
- Bu sayıların toplamının 15 olduğu söyleniyor: $a + b + c = 15$.
- Bizden istenen ise bu üç sayının çarpımının ($a \times b \times c$) alabileceği en büyük değer.
- Adım 2: Strateji Belirleyelim
- Çarpımın en büyük olması için sayıları birbirine mümkün olduğunca yakın seçmeliyiz. Neden mi? Çünkü toplamları sabit olan sayıların çarpımı, sayılar birbirine yaklaştıkça büyür. Örneğin, 2+8=10 ve 5+5=10, ama 2*8=16 iken 5*5=25.
- Adım 3: Sayıları Seçelim
- 15'i 3'e bölersek 5 elde ederiz. O halde sayılarımız 5'e yakın olmalı.
- Ancak sayılar birbirinden farklı olmalı. Bu durumda 5'e en yakın farklı tam sayıları seçelim: 4, 5 ve 6.
- Kontrol edelim: $4 + 5 + 6 = 15$. Toplam doğru!
- Adım 4: Çarpımı Hesaplayalım
- Şimdi bu sayıları çarpalım: $4 \times 5 \times 6 = 120$.
- Adım 5: Diğer İhtimalleri Değerlendirelim
- Acaba daha büyük bir çarpım elde edebilir miyiz? Sayıları daha da uzaklaştıralım: Örneğin 3, 5 ve 7'yi deneyelim. $3 + 5 + 7 = 15$ ve $3 \times 5 \times 7 = 105$. Gördüğümüz gibi çarpım azaldı.
- Başka bir örnek: 2, 6 ve 7'yi deneyelim. $2 + 6 + 7 = 15$ ve $2 \times 6 \times 7 = 84$. Bu da daha küçük bir çarpım verdi.
- Adım 6: Sonuca Ulaşalım
- Gördüğümüz gibi, sayılar birbirine ne kadar yakın olursa çarpım o kadar büyük oluyor. En büyük çarpımı 4, 5 ve 6 sayılarını seçerek elde ettik.
- $4 \times 5 \times 6 = 120$
Doğru cevap 120'dir. Cevap D seçeneğidir.
