İki eşkenar üçgenden birinin kenar uzunluğu diğerinin 2 katıdır. Küçük üçgenin alanı 9√3 cm² olduğuna göre, büyük üçgenin alanı kaç cm²'dir?
A) 18√3Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problemde, eşkenar üçgenlerin alanları arasındaki ilişkiyi ve kenar uzunluklarının alan üzerindeki etkisini inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek soruyu kolayca çözeceğiz.
Elimizde iki tane eşkenar üçgen var. Eşkenar üçgenler, tüm kenar uzunlukları ve iç açıları (her biri $60^\circ$) eşit olan özel üçgenlerdir. Bu da onların birbirine benzer olduğu anlamına gelir.
Soruda, bir üçgenin kenar uzunluğunun diğerinin 2 katı olduğu belirtiliyor. Küçük üçgenin kenar uzunluğuna $a$ diyelim. O zaman büyük üçgenin kenar uzunluğu $2a$ olacaktır.
Küçük üçgenin alanı bize $9\sqrt{3}$ cm$^2$ olarak verilmiş. Büyük üçgenin alanını bulmamız isteniyor.
Bir kenar uzunluğu $x$ olan eşkenar üçgenin alanı, aşağıdaki formülle hesaplanır:
$A = \frac{x^2\sqrt{3}}{4}$
Küçük üçgenin kenar uzunluğu $a$ idi ve alanı $9\sqrt{3}$ cm$^2$. Bu bilgiyi alan formülünde yerine yazalım:
$9\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Eşitliğin her iki tarafında da $\sqrt{3}$ çarpanı olduğu için bunları sadeleştirebiliriz:
$9 = \frac{a^2}{4}$
Şimdi $a^2$ değerini bulmak için her iki tarafı 4 ile çarpalım:
$9 \times 4 = a^2$
$36 = a^2$
$a$ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım. Kenar uzunluğu pozitif olmak zorunda olduğu için:
$a = \sqrt{36}$
$a = 6$ cm
Demek ki küçük üçgenin bir kenar uzunluğu $6$ cm'dir.
Soruda büyük üçgenin kenar uzunluğunun, küçük üçgenin kenar uzunluğunun 2 katı olduğu belirtilmişti. Küçük üçgenin kenar uzunluğunu $a=6$ cm bulduğumuza göre, büyük üçgenin kenar uzunluğu:
$2a = 2 \times 6 = 12$ cm
Büyük üçgenin kenar uzunluğu $12$ cm olduğuna göre, eşkenar üçgenin alan formülünü kullanarak alanını hesaplayabiliriz:
$A_{büyük} = \frac{(12)^2\sqrt{3}}{4}$
$A_{büyük} = \frac{144\sqrt{3}}{4}$
Şimdi $144$'ü $4$'e bölelim:
$A_{büyük} = 36\sqrt{3}$ cm$^2$
İki benzer şeklin (tüm eşkenar üçgenler benzerdir) kenar uzunlukları oranı $k$ ise, alanları oranı $k^2$'dir.
Küçük üçgenin kenar uzunluğu $a$, büyük üçgenin kenar uzunluğu $2a$.
Kenar uzunlukları oranı (büyük/küçük) $k = \frac{2a}{a} = 2$.
Bu durumda, alanları oranı $k^2 = (2)^2 = 4$ olacaktır.
Yani, büyük üçgenin alanı, küçük üçgenin alanının 4 katıdır:
$A_{büyük} = k^2 \times A_{küçük}$
$A_{büyük} = 4 \times 9\sqrt{3}$
$A_{büyük} = 36\sqrt{3}$ cm$^2$
Gördüğünüz gibi, her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık. Bu yöntem, benzer şekillerin alanları arasındaki ilişkiyi anlamak için çok güçlü bir araçtır.
Buna göre, büyük üçgenin alanı $36\sqrt{3}$ cm$^2$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
