10. Sınıf Geniş Açıların Trigonometrik Oranları Nasıl Hesaplanır? Test 2

Birim çember üzerinde 150°'lik açının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

A) (0, 1)
B) (-√3/2, 1/2)
C) (-1/2, √3/2)
D) (-√2/2, √2/2)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Birim çember üzerindeki bir açının koordinatlarını bulmak, trigonometrinin temel konularından biridir. Bu soruyu adım adım çözerek konuyu daha iyi anlayalım.

• 1. Birim Çember Nedir?

  Birim çember, merkezi başlangıç noktası $(0,0)$ olan ve yarıçapı $1$ birim olan bir çemberdir. Bu çember üzerindeki her noktanın koordinatları $(x, y)$ şeklinde ifade edilir ve bu noktalar için $x^2 + y^2 = 1$ denklemi geçerlidir.

• 2. Açı ve Koordinatlar Arasındaki İlişki

  Birim çember üzerinde, pozitif x-ekseni ile saatin tersi yönde yapılan $\theta$ açısının bitim noktasının koordinatları $(x, y)$ ise, bu koordinatlar trigonometrik fonksiyonlarla şu şekilde ilişkilidir:

  • $x = \cos(\theta)$
  • $y = \sin(\theta)$

  Yani, bizden $150^\circ$'lik açının koordinatları istendiğinde, aslında $\cos(150^\circ)$ ve $\sin(150^\circ)$ değerlerini bulmamız isteniyor.

• 3. $150^\circ$'lik Açının Konumu

  $150^\circ$'lik açı, $90^\circ$ ile $180^\circ$ arasında yer alır. Bu da açının ikinci bölgede olduğunu gösterir. İkinci bölgede x-koordinatı (kosinüs) negatif, y-koordinatı (sinüs) ise pozitiftir.

• 4. Referans Açıyı Bulma

  Trigonometrik değerleri bulmak için genellikle bir referans açı kullanırız. Referans açı, açının x-eksenine olan en kısa mesafesidir. İkinci bölgedeki bir açı için referans açı, $180^\circ - \theta$ formülüyle bulunur.

  • Referans açı $= 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

  Şimdi $30^\circ$'nin sinüs ve kosinüs değerlerini hatırlayalım:

  • $\cos(30^\circ) = rac{\sqrt{3}}{2}$
  • $\sin(30^\circ) = rac{1}{2}$
• 5. Koordinatları Belirleme

  Şimdi referans açının değerlerini ve açının bulunduğu bölgedeki işaretleri birleştirelim:

  • x-koordinatı ($\cos(150^\circ)$): İkinci bölgede kosinüs negatiftir. Bu yüzden $\cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -rac{\sqrt{3}}{2}$.
  • y-koordinatı ($\sin(150^\circ)$): İkinci bölgede sinüs pozitiftir. Bu yüzden $\sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = rac{1}{2}$.

  Buna göre, $150^\circ$'lik açının birim çember üzerindeki koordinatları $(-rac{\sqrt{3}}{2}, rac{1}{2})$ olarak bulunur.

• 6. Seçeneklerle Karşılaştırma

  Bulduğumuz koordinatlar $(-rac{\sqrt{3}}{2}, rac{1}{2})$ seçeneği ile aynıdır.

Cevap B seçeneğidir.