Uzunluk kısalması (Uzunluğun göreceliği) Test 1

Bir uzay aracı 0.8c hızıyla hareket ederken, Dünya'daki bir gözlemci bu aracın boyunu 12 m olarak ölçüyor. Buna göre uzay aracının kendi ölçüm sistemindeki (proper) uzunluğu kaç metredir?

A) 7.2
B) 15
C) 18
D) 20

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün özel görelilik teorisinin ilginç sonuçlarından biri olan uzunluk büzülmesi (Lorentz kısalması) konusunu ele alacağız. Bir uzay aracının yüksek hızda hareket ederken boyunun nasıl değiştiğini adım adım hesaplayalım.

• Adım 1: Konuyu Anlayalım

  Uzay aracı ışık hızına yakın ($0.8c$) bir hızla hareket ettiği için, klasik fizikten farklı olarak özel görelilik teorisinin etkilerini gözlemleyeceğiz. Bu etkilerden biri "uzunluk büzülmesi"dir. Bu ilkeye göre, bir cisim hareket doğrultusu boyunca yüksek hızlarda hareket ettiğinde, durgun haldeki (kendi referans sistemindeki) boyundan daha kısa ölçülür. Dünya'daki bir gözlemci, uzay aracının hareket doğrultusundaki boyunu büzülmüş olarak ölçecektir. Bizden istenen ise uzay aracının kendi ölçüm sistemindeki, yani durgun haldeki "gerçek" veya "öz" (proper) uzunluğudur.

• Adım 2: Formülü Hatırlayalım

  Uzunluk büzülmesi formülü şu şekildedir:

  $L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

  Burada:

  • $L$: Hareket eden cismin gözlemci tarafından ölçülen uzunluğu (büzülmüş uzunluk).
  • $L_0$: Cismin kendi referans sistemindeki (durgun haldeki) öz uzunluğu.
  • $v$: Cismin hızı.
  • $c$: Işık hızı.
• Adım 3: Verilenleri Yerine Koyalım

  Soruda verilen değerleri formüldeki yerlerine yerleştirelim:

  • Dünya'daki gözlemcinin ölçtüğü uzunluk (büzülmüş uzunluk): $L = 12$ m
  • Uzay aracının hızı: $v = 0.8c$
  • Bizden istenen öz uzunluk: $L_0$

  Formülü $L_0$ için yeniden düzenleyelim, çünkü biz öz uzunluğu arıyoruz:

  $L_0 = \frac{L}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}

• Adım 4: Hesaplamaları Yapalım

  Şimdi adım adım hesaplamaları gerçekleştirelim:

  • Öncelikle $\frac{v^2}{c^2}$ ifadesini hesaplayalım:

    $v = 0.8c$ olduğu için, $v^2 = (0.8c)^2 = 0.64c^2$.

    O zaman $\frac{v^2}{c^2} = \frac{0.64c^2}{c^2} = 0.64$.

  • Şimdi karekök içindeki ifadeyi hesaplayalım:

    $1 - \frac{v^2}{c^2} = 1 - 0.64 = 0.36$.

  • Karekök değerini bulalım:

    $\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \sqrt{0.36} = 0.6$.

  • Son olarak, $L_0$ değerini hesaplayalım:

    $L_0 = \frac{L}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{12 \text{ m}}{0.6}$.

    $L_0 = 20$ m.

• Adım 5: Sonucu Değerlendirelim

  Bulduğumuz $L_0 = 20$ m değeri, Dünya'daki gözlemcinin ölçtüğü $L = 12$ m değerinden daha büyüktür. Bu beklenen bir sonuçtur, çünkü $L_0$ cismin kendi referans sistemindeki gerçek uzunluğudur ve hareket eden bir cismin uzunluğu her zaman kendi öz uzunluğundan daha kısa ölçülür. Bu durum, uzay aracının kendi referans sisteminde 20 metre uzunluğunda olduğunu, ancak yüksek hızı nedeniyle Dünya'dan bakan bir gözlemcinin onu 12 metre olarak algıladığını gösterir.

Bu adımları takip ederek doğru cevabın 20 metre olduğunu bulduk.

Cevap D seçeneğidir.