Soru:
Bir müon, Dünya'nın atmosferine \(0.998c\) hızıyla çarpar. Müonun kendi referans çerçevesindeki ortalama ömrü \(2.2 \times 10^{-6}\) s'dir. Müonun bu süre boyunca Dünya'ya göre kat ettiği mesafe nedir? (Zaman genişlemesi ve uzunluk kısalması düşünülmelidir.)
Çözüm:
💡 Bu problem iki göreceli etkiyi de içerir. Müonun kendi ömrü "uygun zaman"dır. Dünya'ya göre bu süre uzar (zaman genişlemesi). Ancak müonun bakış açısından, Dünya'ya doğru hareket eden atmosferin kalınlığı kısalmıştır (uzunluk kısalması). İki bakış açısından da hesaplayabiliriz.
- ➡️ Yöntem 1: Dünya'nın Referans Çerçevesi (Zaman Genişlemesi)
- Müonun Dünya'ya göre ömrü: \(\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\)
\(\Delta t = \frac{2.2 \times 10^{-6}}{\sqrt{1 - (0.998)^2}}\)
\(\Delta t \approx \frac{2.2 \times 10^{-6}}{\sqrt{0.003996}} \approx \frac{2.2 \times 10^{-6}}{0.0632} \approx 3.48 \times 10^{-5}\) s
- Kat ettiği mesafe: \(d = v \times \Delta t\)
\(d = 0.998 \times (3 \times 10^8) \times (3.48 \times 10^{-5})\)
\(d \approx 10,419\) m ≈ 10.4 km
- ➡️ Yöntem 2: Müonun Referans Çerçevesi (Uzunluk Kısalması)
- Dünya'ya göre atmosferin kat edilen kısmının uygun uzunluğu \(L_0\) olsun. Müon bu mesafeyi \(L_0\)'ı kısalmış olarak (\(L\)) görür.
- Müon kendi ömrü (\(\Delta t_0\)) boyunca \(v\) hızıyla \(L\) mesafesini alır: \(L = v \times \Delta t_0\)
\(L = 0.998c \times (2.2 \times 10^{-6}) \approx 658.68\) m
- Uzunluk kısalması formülü: \(L = L_0 \sqrt{1 - v^2/c^2}\)
\(658.68 = L_0 \times \sqrt{1 - (0.998)^2} \approx L_0 \times 0.0632\)
\(L_0 \approx \frac{658.68}{0.0632} \approx 10,419\) m ≈ 10.4 km
✅ Sonuç: İki farklı referans çerçevesinden hesaplama yapıldığında da müonun Dünya'ya göre kat ettiği mesafe yaklaşık 10.4 kilometre bulunur.
