Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, iç içe köklü bir ifadeyi üslü sayıya çevirerek, kök sayısını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- 1. Adım: Köklü İfadeyi Üslü İfadeye Çevirme Kuralını Hatırlayalım
Bir sayının karekökü, o sayının $\frac{1}{2}$ kuvveti olarak yazılabilir. Yani, $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$'dir. Ayrıca, üslü sayılarda çarpma işlemi yaparken tabanlar aynıysa üsler toplanır ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$) ve üssün üssü alınırken üsler çarpılır ($(x^m)^n = x^{m \cdot n}$).
- 2. Adım: İçten Dışa Doğru Çözümleme Yöntemi
İç içe köklü ifadeleri çözerken en içteki kökten başlayarak dışa doğru ilerlemek en kolay yoldur. Kök sayısını $n$ olarak kabul edelim ve birkaç örnekle genel bir kural bulmaya çalışalım:
- 1 kök için: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$
- 2 kök için: $\sqrt{a\sqrt{a}}$ ifadesini inceleyelim.
- En içteki $\sqrt{a}$ yerine $a^{\frac{1}{2}}$ yazalım: $\sqrt{a \cdot a^{\frac{1}{2}}}$
- $a$ ifadesinin üssü $1$'dir. Üslü sayıların çarpım kuralını kullanalım: $\sqrt{a^{1+\frac{1}{2}}} = \sqrt{a^{\frac{3}{2}}}$
- Şimdi bu kökü üslü sayıya çevirelim: $(a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{4}}$
- 3 kök için: $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}$ ifadesini inceleyelim.
- Önceki adımdan biliyoruz ki $\sqrt{a\sqrt{a}} = a^{\frac{3}{4}}$. Bu ifadeyi yerine yazalım: $\sqrt{a \cdot a^{\frac{3}{4}}}$
- Üslü sayıların çarpım kuralını kullanalım: $\sqrt{a^{1+\frac{3}{4}}} = \sqrt{a^{\frac{7}{4}}}$
- Şimdi bu kökü üslü sayıya çevirelim: $(a^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{4} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{8}}$
- 3. Adım: Genel Kuralı Bulma
Yukarıdaki örnekleri incelediğimizde, $n$ tane iç içe kök olduğunda, ifadenin $a^{\frac{2^n-1}{2^n}}$ şeklinde bir sonuca ulaştığını görebiliriz:
- $n=1 \Rightarrow a^{\frac{2^1-1}{2^1}} = a^{\frac{1}{2}}$
- $n=2 \Rightarrow a^{\frac{2^2-1}{2^2}} = a^{\frac{4-1}{4}} = a^{\frac{3}{4}}$
- $n=3 \Rightarrow a^{\frac{2^3-1}{2^3}} = a^{\frac{8-1}{8}} = a^{\frac{7}{8}}$
Bu kural, sorudaki iç içe köklü ifade için geçerlidir.
- 4. Adım: Denklemi Kurma ve Çözme
Soruda verilen ifade $a^{\frac{15}{16}}$ olarak verilmiş. O zaman genel kuralımızı bu ifadeye eşitleyelim:
- $a^{\frac{2^n-1}{2^n}} = a^{\frac{15}{16}}$
- Tabanlar ($a$) aynı olduğu için üsler de eşit olmalıdır: $\frac{2^n-1}{2^n} = \frac{15}{16}$
- 5. Adım: Denklemi Basitleştirme ve $n$ Değerini Bulma
Şimdi denklemi $n$ için çözelim:
- Kesri iki parçaya ayıralım: $\frac{2^n}{2^n} - \frac{1}{2^n} = \frac{15}{16}$
- Bu da $1 - \frac{1}{2^n} = \frac{15}{16}$ anlamına gelir.
- $\frac{1}{2^n}$ ifadesini yalnız bırakalım: $\frac{1}{2^n} = 1 - \frac{15}{16}$
- Sağ tarafı hesaplayalım: $\frac{1}{2^n} = \frac{16}{16} - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$
- $\frac{1}{2^n} = \frac{1}{16}$ eşitliğinden, $2^n = 16$ olmalıdır.
- $16$ sayısını $2$'nin kuvveti olarak yazalım: $16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$.
- Yani, $2^n = 2^4$.
- Bu durumda, $n = 4$ bulunur.
İç içe kök sayısı $4$'tür.
Cevap C seçeneğidir.
