İç içe kökler formülü Test 2

10. \( \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} \) işleminin sonucu kaçtır?

A) \( 2\sqrt{3} \)
B) \( 3\sqrt{2} \)
C) \( 2\sqrt{6} \)
D) \( \sqrt{30} \)

Bu soruda, iç içe köklü ifadeleri sadeleştirme ve toplama becerimizi kullanacağız. Adım adım ilerleyelim ve bu tür ifadelerle nasıl başa çıkacağımızı öğrenelim.

• Adım 1: İç İçe Köklü İfadeleri Sadeleştirme Kuralını Hatırlayalım

İç içe köklü ifadeleri sadeleştirmek için özel bir kuralımız var: $ \sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} $ şeklindeki ifadeler, $x+y=a$ ve $x \cdot y = b$ koşullarını sağlayan $x$ ve $y$ sayıları bulunduğunda $ \sqrt{x} \pm \sqrt{y} $ şeklinde yazılabilir. Burada $x > y$ olmalıdır ki kök dışına çıkan ifade pozitif olsun.

• Adım 2: İlk Terimi Sadeleştirelim: $ \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} $

Bu ifadeyi $ \sqrt{a - 2\sqrt{b}} $ formuna benzetirsek, $a=5$ ve $b=6$ olduğunu görürüz. Şimdi, çarpımları $6$ ve toplamları $5$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $3$ ve $2$'dir ($3 \cdot 2 = 6$ ve $3+2=5$).

O halde, $ \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{2} $ olarak sadeleşir. (Çünkü ortadaki işaret eksi ve $3 > 2$ olduğu için $\sqrt{3}$'ü önce yazarız.)

• Adım 3: İkinci Terimi Sadeleştirelim: $ \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} $

Bu ifadeyi $ \sqrt{a + 2\sqrt{b}} $ formuna benzetirsek, yine $a=5$ ve $b=6$ olduğunu görürüz. Çarpımları $6$ ve toplamları $5$ olan sayılar yine $3$ ve $2$'dir.

O halde, $ \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2} $ olarak sadeleşir. (Çünkü ortadaki işaret artı.)

• Adım 4: Sadeleşmiş İfadeleri Toplayalım

Şimdi, bulduğumuz sadeleşmiş ifadeleri orijinal denklemdeki yerlerine yazalım:

$ (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{3} + \sqrt{2}) $

Parantezleri açtığımızda:

$ \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{2} $

Burada dikkat ederseniz, $ -\sqrt{2} $ ve $ +\sqrt{2} $ terimleri birbirini götürür (sıfırlar).

• Adım 5: Sonucu Bulalım

Geriye kalan terimleri toplarsak:

$ \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $

İşlemin sonucu $ 2\sqrt{3} $ olarak bulunur.

Cevap A seçeneğidir.