A = [-3, 5) ve B = (2, 7] aralıkları veriliyor. A $\cup$ B işleminin sayı doğrusu üzerindeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) Sayı doğrusunda -3'ten 7'ye kadar olan tüm noktalar, -3 ve 7 dahil.
B) Sayı doğrusunda -3'ten 7'ye kadar olan tüm noktalar, -3 dahil, 7 hariç.
C) Sayı doğrusunda -3'ten 7'ye kadar olan tüm noktalar, -3 hariç, 7 dahil.
D) Sayı doğrusunda -3'ten 7'ye kadar olan tüm noktalar, -3 ve 7 hariç.
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, verilen iki aralığın birleşimini ($A \cup B$) bulmamız ve bu birleşimi sayı doğrusu üzerinde nasıl göstereceğimizi anlamamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Verilen Aralıkları Anlayalım
- Öncelikle, $A = [-3, 5)$ ve $B = (2, 7]$ aralıklarının ne anlama geldiğini hatırlayalım.
- Bir aralıkta köşeli parantez ($[$ veya $]$) o noktanın aralığa dahil olduğunu, normal parantez (($$ veya $)$) ise o noktanın aralığa dahil olmadığını gösterir.
- $A = [-3, 5)$ aralığı, $-3$ sayısının dahil olduğu, $5$ sayısının ise dahil olmadığı, $-3$ ile $5$ arasındaki tüm gerçek sayıları ifade eder. Yani, $-3 \le x < 5$ koşulunu sağlayan tüm $x$ değerleri.
- $B = (2, 7]$ aralığı, $2$ sayısının dahil olmadığı, $7$ sayısının ise dahil olduğu, $2$ ile $7$ arasındaki tüm gerçek sayıları ifade eder. Yani, $2 < x \le 7$ koşulunu sağlayan tüm $x$ değerleri.
- 2. Adım: Birleşim İşlemini ($\cup$) Anlayalım
- İki kümenin birleşimi ($A \cup B$), bu iki kümedeki tüm elemanları içeren yeni bir küme oluşturmak demektir. Sayı aralıkları için bu, her iki aralığın kapladığı tüm noktaları bir araya getirmek anlamına gelir. Yani, $A$'da olan veya $B$'de olan (veya her ikisinde de olan) tüm sayıları kapsayan en geniş aralığı bulmalıyız.
- 3. Adım: Aralıkları Sayı Doğrusunda Hayal Edelim
- Bu tür işlemleri görselleştirmek, doğru cevabı bulmak için çok yardımcıdır.
- $A = [-3, 5)$ aralığını sayı doğrusunda düşünelim: $-3$ noktasında kapalı bir daire (dahil olduğu için) ve $5$ noktasında açık bir daire (dahil olmadığı için) ile bu iki nokta arasındaki tüm çizgiyi çizeriz.
- $B = (2, 7]$ aralığını sayı doğrusunda düşünelim: $2$ noktasında açık bir daire (dahil olmadığı için) ve $7$ noktasında kapalı bir daire (dahil olduğu için) ile bu iki nokta arasındaki tüm çizgiyi çizeriz.
- 4. Adım: Birleşimi Bulalım
- Şimdi bu iki aralığı sayı doğrusu üzerinde birleştirelim.
- Aralık $A$, $-3$'ten başlar ve $5$'e kadar gider.
- Aralık $B$, $2$'den başlar ve $7$'ye kadar gider.
- Birleşim kümesi, bu iki aralığın en solundaki noktadan başlayıp, en sağındaki noktada bitecektir.
- En soldaki nokta: $A$ aralığının başlangıcı olan $-3$'tür. Bu nokta $A$ kümesine dahil olduğu için, birleşim kümesine de dahil olacaktır.
- En sağdaki nokta: $B$ aralığının bitişi olan $7$'dir. Bu nokta $B$ kümesine dahil olduğu için, birleşim kümesine de dahil olacaktır.
- Bu durumda, $A \cup B$ aralığı $-3$'ten $7$'ye kadar olan tüm sayıları kapsar ve hem $-3$ hem de $7$ bu aralığa dahildir.
- Matematiksel olarak bu aralık $[-3, 7]$ şeklinde yazılır.
- 5. Adım: Seçenekleri Değerlendirelim
- Bulduğumuz $A \cup B = [-3, 7]$ aralığını seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) Sayı doğrusunda -3'ten 7'ye kadar olan tüm noktalar, -3 ve 7 dahil. Bu ifade, $[-3, 7]$ aralığını tam olarak tanımlar.
- B) Sayı doğrusunda -3'ten 7'ye kadar olan tüm noktalar, -3 dahil, 7 hariç. Bu ifade $[-3, 7)$ aralığını tanımlar.
- C) Sayı doğrusunda -3'ten 7'ye kadar olan tüm noktalar, -3 hariç, 7 dahil. Bu ifade $(-3, 7]$ aralığını tanımlar.
- D) Sayı doğrusunda -3'ten 7'ye kadar olan tüm noktalar, -3 ve 7 hariç. Bu ifade $(-3, 7)$ aralığını tanımlar.
Görüldüğü gibi, bizim bulduğumuz sonuç A seçeneği ile tamamen uyuşmaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
