f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2 fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi kaçtır?
A) 1Merhaba sevgili öğrenciler!
Bir fonksiyonun yerel minimum noktasının apsisini bulmak için türev alma kurallarını ve ikinci türev testini kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:
1. Adım: Fonksiyonun Birinci Türevini Bulma
Yerel minimum veya maksimum noktalarını bulmak için öncelikle fonksiyonun birinci türevini ($f'(x)$) almamız gerekir. Fonksiyonumuz $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ şeklindedir.
Türev alma kurallarını uygulayarak $f'(x)$'i bulalım:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(6x^2) + \frac{d}{dx}(9x) + \frac{d}{dx}(2)$
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$
2. Adım: Kritik Noktaları Bulma
Yerel ekstremum noktaları (minimum veya maksimum) birinci türevin sıfır olduğu veya tanımsız olduğu noktalarda meydana gelir. Polinom fonksiyonları her yerde tanımlı olduğu için sadece $f'(x) = 0$ denklemini çözmemiz yeterlidir.
$3x^2 - 12x + 9 = 0$
Bu denklemi çözmek için her tarafı $3$'e bölebiliriz:
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Çarpanlarına ayırarak köklerini bulabiliriz:
$(x-1)(x-3) = 0$
Buradan kritik noktalarımız $x=1$ ve $x=3$ olarak bulunur.
3. Adım: Fonksiyonun İkinci Türevini Bulma
Kritik noktaların yerel minimum mu yoksa yerel maksimum mu olduğunu belirlemek için ikinci türev testini kullanırız. Bunun için $f''(x)$'i bulmamız gerekir.
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ idi. Şimdi bunun türevini alalım:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(12x) + \frac{d}{dx}(9)$
$f''(x) = 6x - 12$
4. Adım: İkinci Türev Testini Uygulama
Bulduğumuz kritik noktaları ($x=1$ ve $x=3$) ikinci türevde yerine koyarak işaretlerini inceleyelim:
$x=1$ için:
$f''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6$
İkinci türev $x=1$ noktasında negatif ($f''(1) < 0$) olduğu için, bu nokta bir yerel maksimum noktasıdır.
$x=3$ için:
$f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6$
İkinci türev $x=3$ noktasında pozitif ($f''(3) > 0$) olduğu için, bu nokta bir yerel minimum noktasıdır.
5. Adım: Yerel Minimum Noktasının Apsisinin Belirlenmesi
Yaptığımız test sonucunda, fonksiyonun yerel minimum noktasının apsisinin $x=3$ olduğunu bulduk.
Cevap C seçeneğidir.
