10. Sınıf Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Değerleri Test 2

Toplamları 24 olan iki pozitif sayının kareleri toplamının minimum değeri kaçtır?

A) 144
B) 192
C) 216
D) 288

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, toplamları belirli bir sayı olan iki pozitif sayının kareleri toplamının en küçük değerini bulmamız isteniyor. Bu tür optimizasyon problemlerini çözmek için genellikle bir değişkeni diğerine bağlı olarak ifade ederiz ve ardından bir fonksiyonun minimum değerini buluruz. Hadi adım adım çözelim:

• 1. Adım: Sayıları Tanımlayalım ve Verilenleri Yazalım

  İki pozitif sayımız olsun. Bu sayılara $x$ ve $y$ diyelim.

  Soruda verilen ilk bilgi: Bu iki sayının toplamı 24'tür.

  $x + y = 24$

  Soruda verilen ikinci bilgi: Bu sayılar pozitiftir, yani $x > 0$ ve $y > 0$.

  Bizden istenen: Bu iki sayının kareleri toplamının minimum değeri. Kareleri toplamına $S$ diyelim:

  $S = x^2 + y^2$

• 2. Adım: Bir Değişkeni Diğeri Cinsinden İfade Edelim

  $x + y = 24$ denkleminden $y$'yi $x$ cinsinden ifade edebiliriz:

  $y = 24 - x$

• 3. Adım: Kareleri Toplamı Fonksiyonunu Oluşturalım

  $y = 24 - x$ ifadesini $S = x^2 + y^2$ denkleminde yerine yazalım:

  $S(x) = x^2 + (24 - x)^2$

  Şimdi bu ifadeyi açalım ve düzenleyelim:

  $S(x) = x^2 + (24^2 - 2 \cdot 24 \cdot x + x^2)$

  $S(x) = x^2 + (576 - 48x + x^2)$

  $S(x) = 2x^2 - 48x + 576$

  Bu, bir parabol denklemi (ikinci dereceden bir fonksiyon) olup, $ax^2 + bx + c$ formundadır. Burada $a=2$, $b=-48$ ve $c=576$.

• 4. Adım: Fonksiyonun Minimum Değerini Bulalım

  Bir parabolün minimum (veya maksimum) değeri, tepe noktasında bulunur. $a > 0$ olduğu için (yani $2 > 0$), parabol yukarı doğru açılır ve bir minimum değere sahiptir.

  Tepe noktasının $x$ koordinatı $x = -\frac{b}{2a}$ formülüyle bulunur:

  $x = -\frac{-48}{2 \cdot 2}$

  $x = \frac{48}{4}$

  $x = 12$

  Bulduğumuz $x$ değeri (12), pozitif sayı olma koşulunu ($x > 0$) sağlamaktadır.

• 5. Adım: Diğer Sayıyı Bulalım

  $x = 12$ değerini $y = 24 - x$ denkleminde yerine yazarak $y$ değerini bulalım:

  $y = 24 - 12$

  $y = 12$

  Bulduğumuz $y$ değeri (12), pozitif sayı olma koşulunu ($y > 0$) sağlamaktadır.

  Gördüğümüz gibi, kareleri toplamının minimum olması için iki sayı da birbirine eşit olmalıdır (12 ve 12).

• 6. Adım: Minimum Kareler Toplamını Hesaplayalım

  Şimdi bulduğumuz $x=12$ ve $y=12$ değerlerini $S = x^2 + y^2$ denkleminde yerine yazarak minimum değeri bulalım:

  $S_{min} = 12^2 + 12^2$

  $S_{min} = 144 + 144$

  $S_{min} = 288$

Bu durumda, toplamları 24 olan iki pozitif sayının kareleri toplamının minimum değeri 288'dir.

Cevap D seçeneğidir.