A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 elemanları birlikte bulunur?
A) 5Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, belirli elemanları içeren alt kümelerin sayısını bulmayı öğreneceğiz. Adım adım ilerleyerek konuyu daha iyi kavrayalım.
Adım 1: Kümeyi ve İstenen Şartları Anlayalım.
Öncelikle, bize verilen ana küme $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$'dir. Bu kümenin toplam $n(A) = 7$ elemanı vardır.
Bizden istenen, bu kümeden 4 elemanlı alt kümeler oluşturmaktır. Ancak önemli bir şart var: Oluşturacağımız bu 4 elemanlı alt kümelerin içinde 1 ve 2 elemanları mutlaka birlikte bulunmalıdır.
Adım 2: Şartı Sağlayan Elemanları Alt Kümeye Yerleştirelim.
Mademki 1 ve 2 elemanları her alt kümede bulunmak zorunda, o zaman bu iki elemanı oluşturacağımız 4 elemanlı alt kümenin içine şimdiden yerleştirelim.
Yani, alt kümemiz şimdilik şöyle görünüyor: $\{1, 2, \_, \_\}$.
Bu durumda, 4 elemanlı alt kümemizin 2 elemanını (1 ve 2) zaten seçmiş olduk.
Adım 3: Kalan Elemanları ve Seçim Havuzunu Belirleyelim.
Alt kümemizin 4 elemanlı olması için geriye $4 - 2 = 2$ eleman daha seçmemiz gerekiyor.
Peki bu 2 elemanı nereden seçeceğiz? Ana küme $A$'dan 1 ve 2'yi zaten kullandığımız için, bu elemanları tekrar seçemeyiz. Bu elemanları ana kümeden çıkararak yeni bir seçim havuzu oluşturalım:
$A' = A - \{1, 2\} = \{3, 4, 5, 6, 7\}$.
Bu yeni kümenin eleman sayısı $n(A') = 5$'tir.
Adım 4: Kombinasyon Kullanarak Seçimi Yapalım.
Şimdi, $A'$ kümesindeki 5 elemandan (yani $\{3, 4, 5, 6, 7\}$ elemanlarından) 2 tanesini seçmemiz gerekiyor. Bu seçimi yaparken elemanların sıralaması önemli olmadığı için kombinasyon formülünü kullanacağız.
Kombinasyon formülü $C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ idi.
Burada $n = 5$ (seçim yapacağımız eleman sayısı) ve $k = 2$ (seçeceğimiz eleman sayısı).
Hesaplamayı yapalım:
$C(5, 2) = \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)}$
$C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$.
Adım 5: Sonucu Belirleyelim.
Yaptığımız hesaplamaya göre, $A$ kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinden 1 ve 2 elemanlarını birlikte içerenlerin sayısı 10'dur.
Cevap B seçeneğidir.
