Bu soruda, doğrusal bir fonksiyon olan $f(x) = ax + b$ için bize bazı bilgiler verilmiş ve bizden $f(5)$ değerini bulmamız isteniyor. Doğrusal fonksiyonlar, grafikleri düz bir çizgi olan ve $x$ değiştikçe $f(x)$'in (yani $y$'nin) düzenli bir şekilde değiştiği fonksiyonlardır. Haydi adım adım çözelim:
- Adım 1: Verilen Bilgileri Fonksiyon Kuralına Uygulayalım
- Bize $f(x) = ax + b$ fonksiyonu verilmiş. Ayrıca $f(1) = 7$ ve $f(3) = 13$ olduğu söylenmiş. Bu bilgileri kullanarak iki denklem oluşturalım:
- $f(1) = a(1) + b = 7 \Rightarrow a + b = 7$ (Bu bizim Birinci Denklemimiz olsun)
- $f(3) = a(3) + b = 13 \Rightarrow 3a + b = 13$ (Bu da İkinci Denklemimiz olsun)
- Adım 2: $a$ ve $b$ Değerlerini Bulmak İçin Denklem Sistemini Çözelim
- Şimdi elimizde iki bilinmeyenli ($a$ ve $b$) iki denklem var: $a + b = 7$ ve $3a + b = 13$.
- Bu denklemleri çözmek için yok etme yöntemini kullanabiliriz. İkinci denklemden birinci denklemi çıkaralım:
- $(3a + b) - (a + b) = 13 - 7$
- $3a + b - a - b = 6$
- $2a = 6$
- Her iki tarafı $2$'ye bölersek: $a = 3$
- Şimdi $a$ değerini bulduk ($a=3$). Bu değeri birinci denklemde yerine koyarak $b$ değerini bulalım:
- $a + b = 7$
- $3 + b = 7$
- $b = 7 - 3$
- $b = 4$
- Adım 3: Fonksiyon Kuralını Belirleyelim
- $a=3$ ve $b=4$ değerlerini bulduğumuza göre, fonksiyonumuzun kuralı artık belli: $f(x) = 3x + 4$.
- Doğru bulup bulmadığımızı kontrol edelim: $f(1) = 3(1) + 4 = 3 + 4 = 7$ (Doğru!) ve $f(3) = 3(3) + 4 = 9 + 4 = 13$ (Doğru!).
- Adım 4: $f(5)$ Değerini Hesaplayalım
- Fonksiyonumuz $f(x) = 3x + 4$ olduğuna göre, $x$ yerine $5$ yazarak $f(5)$ değerini kolayca bulabiliriz:
- $f(5) = 3(5) + 4$
- $f(5) = 15 + 4$
- $f(5) = 19$
- Ek Bilgi: Doğrusal Fonksiyonlarda Değişim Oranı (Alternatif Çözüm)
- Doğrusal fonksiyonlarda $x$ değerleri eşit aralıklarla arttığında, $f(x)$ değerleri de eşit aralıklarla artar veya azalır. Buna değişim oranı (eğim) denir.
- $x$ değeri $1$'den $3$'e (yani $2$ birim) arttığında, $f(x)$ değeri $7$'den $13$'e (yani $6$ birim) artmış.
- Bu durumda, $x$ her $1$ birim arttığında $f(x)$ değeri $6/2 = 3$ birim artar. (Bu bizim $a$ değerimizdir!)
- Şimdi $x$ değeri $3$'ten $5$'e (yani yine $2$ birim) arttığında, $f(x)$ değeri de yine $6$ birim artacaktır.
- O halde $f(5) = f(3) + 6 = 13 + 6 = 19$ olur.
- Gördüğünüz gibi, her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık!
Cevap C seçeneğidir.
