Bir eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu 10 cm ise, bu üçgenin yüksekliği kaç cm'dir?
A) 5Bir eşkenar üçgenin yüksekliğini bulmak için iki farklı yöntem kullanabiliriz: Pisagor Teoremi veya özel üçgen (30-60-90 üçgeni) özelliklerini kullanmak.
Eşkenar üçgen, tüm kenar uzunlukları ve tüm iç açıları birbirine eşit olan bir üçgendir. Her bir iç açısı $60^\circ$'dir. Bir eşkenar üçgende yükseklik, aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır. Yani, yüksekliği çizdiğimizde üçgeni iki eş 30-60-90 dik üçgene ayırırız.
Eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu $10$ cm olarak verilmiş. Yüksekliği çizdiğimizde, bu yükseklik tabanı iki eşit parçaya böler. Dolayısıyla, oluşan dik üçgenin bir kenarı (tabanı) $10 \div 2 = 5$ cm olur. Dik üçgenin hipotenüsü ise eşkenar üçgenin kenarıdır, yani $10$ cm'dir. Yükseklik ise dik üçgenin diğer dik kenarıdır.
Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir ($a^2 + b^2 = c^2$).
Oluşan dik üçgenin kenarları:
Bir dik kenar (tabanın yarısı): $a = 5$ cm
Diğer dik kenar (yükseklik): $h$
Hipotenüs (eşkenar üçgenin kenarı): $c = 10$ cm
Pisagor Teoremini uygulayalım:
$a^2 + h^2 = c^2$
$5^2 + h^2 = 10^2$
$25 + h^2 = 100$
$h^2 = 100 - 25$
$h^2 = 75$
$h = \sqrt{75}$
$h = \sqrt{25 \times 3}$
$h = 5\sqrt{3}$ cm
Eşkenar üçgenin yüksekliği, üçgeni iki adet 30-60-90 özel dik üçgene ayırır. Bu üçgenlerin kenar oranları sabittir:
$30^\circ$'nin karşısındaki kenar $x$ ise,
$60^\circ$'nin karşısındaki kenar $x\sqrt{3}$ olur,
$90^\circ$'nin karşısındaki kenar (hipotenüs) $2x$ olur.
Bizim oluşan dik üçgenimizde:
$90^\circ$'nin karşısındaki kenar (hipotenüs) $10$ cm'dir. Yani $2x = 10$, buradan $x = 5$ cm bulunur.
$30^\circ$'nin karşısındaki kenar (tabanın yarısı) $5$ cm'dir. Bu da $x$ değerimize eşittir.
$60^\circ$'nin karşısındaki kenar ise yüksekliktir ($h$). Bu kenar $x\sqrt{3}$ formülüyle bulunur.
$h = 5\sqrt{3}$ cm.
Her iki yöntemle de eşkenar üçgenin yüksekliğini $5\sqrt{3}$ cm olarak buluruz.
Cevap C seçeneğidir.
