10. Sınıf Sinüs ve Kosinüs Teoremleri Test 1

Bir ABC üçgeninde A açısı 30°, B açısı 45° ve c kenarı 12 cm'dir. a kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

A) 6.2
B) 7.4
C) 8.6
D) 9.8

Haydi, bu trigonometri sorusunu keyifle çözelim!

• 📐 Öncelikle, verilenleri not alalım: $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 45^\circ$ ve $c = 12$ cm. Amacımız $a$ kenarını bulmak.
• 🧮 Üçgenin iç açılarının toplamı $180^\circ$ olduğundan, $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$ olur.
• 🧪 Şimdi Sinüs Teoremi'ni uygulayalım: $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$.
• 💡 Değerleri yerine koyarsak: $\frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{12}{\sin 105^\circ}$.
• 🤔 $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ ve $\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
• 🧮 O halde, $\frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{12}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}$ olur. Bu da $2a = \frac{48}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ demektir.
• ➗ Buradan $a = \frac{24}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ sonucuna ulaşırız. Paydayı eşleniği ile çarpalım: $a = \frac{24(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{24(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{24(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 6(\sqrt{6} - \sqrt{2})$.
• ➕ Yaklaşık değerlerini yerine yazarsak: $a \approx 6(2.45 - 1.41) = 6(1.04) = 6.24$.
• ✅ Doğru Seçenek A'dır.