Bir fonksiyonun tüm reel sayılarda sürekli olması demek, fonksiyonun tanım kümesinin tüm reel sayılar olması ve bu tanım kümesi üzerindeki her noktada sürekli olması demektir. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $f(x) = \frac{1}{x}$
- Bu fonksiyonun tanım kümesi, paydanın sıfır olmadığı tüm reel sayılardır. Yani $x \neq 0$ olmalıdır. Tanım kümesi $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$'dir.
- Fonksiyon $x=0$ noktasında tanımlı değildir ve bu noktada bir süreksizliğe sahiptir. Dolayısıyla, tüm reel sayılarda sürekli değildir.
- B) $f(x) = \sqrt{x}$
- Bu fonksiyonun tanım kümesi, karekök içindeki ifadenin negatif olmadığı tüm reel sayılardır. Yani $x \ge 0$ olmalıdır. Tanım kümesi $[0, \infty)$'dir.
- Fonksiyon negatif $x$ değerleri için tanımlı değildir. Dolayısıyla, tüm reel sayılarda sürekli değildir.
- C) $f(x) = |x|$
- Mutlak değer fonksiyonunun tanım kümesi tüm reel sayılardır. Yani $(-\infty, \infty)$'dir.
- Bu fonksiyon, $x > 0$ için $f(x) = x$ (doğrusal bir fonksiyon) ve $x < 0$ için $f(x) = -x$ (doğrusal bir fonksiyon) olarak tanımlanır. Doğrusal fonksiyonlar kendi tanım kümelerinde süreklidir.
- Kritik nokta olan $x=0$ noktasında sürekliliği kontrol edelim:
- $f(0) = |0| = 0$.
- Sağdan limit: $\lim_{x \to 0^+} |x| = \lim_{x \to 0^+} x = 0$.
- Soldan limit: $\lim_{x \to 0^-} |x| = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$.
- Limit değeri ($0$) fonksiyonun o noktadaki değerine ($f(0)=0$) eşit olduğu için, fonksiyon $x=0$ noktasında da süreklidir.
- Sonuç olarak, $f(x) = |x|$ fonksiyonu tüm reel sayılarda tanımlı ve her noktada süreklidir.
- D) $f(x) = \ln(x)$
- Doğal logaritma fonksiyonunun tanım kümesi, logaritma içindeki ifadenin pozitif olduğu tüm reel sayılardır. Yani $x > 0$ olmalıdır. Tanım kümesi $(0, \infty)$'dir.
- Fonksiyon sıfır ve negatif $x$ değerleri için tanımlı değildir. Dolayısıyla, tüm reel sayılarda sürekli değildir.
Yukarıdaki analizlere göre, tüm reel sayılarda sürekli olan fonksiyon $f(x) = |x|$'tir.
Cevap C seçeneğidir.
