Bir f fonksiyonu [a,b] kapalı aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise aşağıdaki teoremlerden hangisi garantilenir?
A) Rolle Teoremi
B) Ortalama Değer Teoremi
C) Ara Değer Teoremi
D) Uç Değer Teoremi
Bu soru, bir fonksiyonun belirli koşullar altında hangi matematiksel teoremi garantilediğini anlamamızı istiyor. Verilen koşullar şunlardır:
- Bir $f$ fonksiyonu $[a,b]$ kapalı aralığında süreklidir.
- $f(a)$ ile $f(b)$ ters işaretlidir. Yani, biri pozitifse diğeri negatiftir. Bu durum, $f(a) \cdot f(b) < 0$ olarak da ifade edilebilir.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) Rolle Teoremi:
- Koşulları: Bir $f$ fonksiyonu $[a,b]$ aralığında sürekli, $(a,b)$ aralığında türevlenebilir olmalı ve $f(a) = f(b)$ olmalıdır.
- Sonucu: Bu koşullar altında, $(a,b)$ aralığında en az bir $c$ noktası vardır öyle ki $f'(c) = 0$ olur.
- Soruyla İlişkisi: Soru bize $f(a) = f(b)$ koşulunu vermiyor, aksine $f(a)$ ve $f(b)$'nin ters işaretli olduğunu söylüyor. Bu durumda $f(a) \neq f(b)$'dir (sıfır olmadıkları sürece), dolayısıyla Rolle Teoremi'nin doğrudan uygulanması mümkün değildir.
- B) Ortalama Değer Teoremi (Mean Value Theorem):
- Koşulları: Bir $f$ fonksiyonu $[a,b]$ aralığında sürekli ve $(a,b)$ aralığında türevlenebilir olmalıdır.
- Sonucu: Bu koşullar altında, $(a,b)$ aralığında en az bir $c$ noktası vardır öyle ki $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ olur.
- Soruyla İlişkisi: Soru bize fonksiyonun türevlenebilir olduğu bilgisini vermiyor, sadece sürekli olduğunu belirtiyor. Ayrıca, $f(a)$ ve $f(b)$'nin ters işaretli olması, bu teoremin doğrudan bir sonucu değildir.
- C) Ara Değer Teoremi (Intermediate Value Theorem):
- Koşulları: Bir $f$ fonksiyonu $[a,b]$ kapalı aralığında sürekli olmalıdır.
- Sonucu: Eğer $k$, $f(a)$ ile $f(b)$ arasındaki herhangi bir değerse (yani $f(a) < k < f(b)$ veya $f(b) < k < f(a)$), o zaman $(a,b)$ aralığında en az bir $c$ noktası vardır öyle ki $f(c) = k$ olur.
- Soruyla İlişkisi: Soru bize $f$ fonksiyonunun $[a,b]$ aralığında sürekli olduğunu ve $f(a)$ ile $f(b)$'nin ters işaretli olduğunu söylüyor. Bu demektir ki, $f(a)$ pozitifse $f(b)$ negatiftir ya da tam tersi. Her iki durumda da $0$ (sıfır) değeri, $f(a)$ ile $f(b)$ arasında bir yerdedir. Ara Değer Teoremi'ne göre, eğer $0$ değeri $f(a)$ ile $f(b)$ arasındaysa, o zaman $[a,b]$ aralığında en az bir $c$ noktası olmalıdır ki $f(c) = 0$ olsun. Bu da fonksiyonun bu aralıkta en az bir kökü olduğunu (x eksenini kestiğini) garanti eder. Bu, verilen koşullara mükemmel uyan bir sonuçtur.
- D) Uç Değer Teoremi (Extreme Value Theorem):
- Koşulları: Bir $f$ fonksiyonu $[a,b]$ kapalı aralığında sürekli olmalıdır.
- Sonucu: Bu koşullar altında, $f$ fonksiyonu $[a,b]$ aralığında hem mutlak maksimum hem de mutlak minimum değerlerini alır.
- Soruyla İlişkisi: Soru bize fonksiyonun sürekli olduğunu belirtiyor, bu yüzden Uç Değer Teoremi geçerlidir ve fonksiyonun maksimum ve minimum değerleri vardır. Ancak, $f(a)$ ve $f(b)$'nin ters işaretli olması durumu, bu teoremin doğrudan bir sonucu değildir ve bir kökün varlığını garanti etmez. Sadece maksimum ve minimum değerlerin varlığını garanti eder.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, verilen koşulların (süreklilik ve uç noktalarda ters işaretli değerler) doğrudan Ara Değer Teoremi'nin bir sonucu olarak bir kökün varlığını garantilediği açıkça görülmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
