0/0 belirsizliği nasıl çözülür (Çarpanlara ayırma) Test 2

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3-1}{x-1}$ limitinin değeri kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Sevgili öğrenciler, bu limit sorusunu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Limit problemlerinde ilk yapmamız gereken, $x$ değerini fonksiyonda yerine koyarak bir belirsizlik durumu olup olmadığını kontrol etmektir.

• Adım 1: Doğrudan Yerine Koyma ve Belirsizlik Kontrolü

Verilen limit ifadesinde $x \to 1$ olduğu için, $x=1$ değerini fonksiyona yerleştirelim:

$\frac{1^3-1}{1-1} = \frac{1-1}{1-1} = \frac{0}{0}$

Gördüğümüz gibi, $\frac{0}{0}$ belirsizliği ile karşılaştık. Bu durum, fonksiyonun bu noktada tanımsız olduğu anlamına gelir, ancak limitin var olabileceğini ve özel bir yöntemle bulunması gerektiğini gösterir. Belirsizlikleri gidermek için genellikle çarpanlara ayırma, eşlenikle çarpma veya L'Hôpital kuralı gibi yöntemler kullanırız.

• Adım 2: Çarpanlara Ayırma Yöntemi ile Sadeleştirme

Pay kısmındaki ifade $x^3-1$, bir küpler farkı özdeşliğidir. Küpler farkı formülü şöyledir: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Burada $a=x$ ve $b=1$ olduğu için, $x^3-1$ ifadesini çarpanlarına ayıralım:

$x^3-1^3 = (x-1)(x^2+x \cdot 1 + 1^2) = (x-1)(x^2+x+1)$

Şimdi bu çarpanlara ayrılmış ifadeyi limit denkleminde yerine yazalım:

$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}$

Limit alırken $x \to 1$ demek, $x$'in 1'e çok yaklaştığı ancak tam olarak 1 olmadığı anlamına gelir. Bu nedenle $x-1 \neq 0$ diyebiliriz ve pay ile paydadaki $(x-1)$ terimlerini sadeleştirebiliriz:

$\lim_{x \to 1} (x^2+x+1)$

• Adım 3: Sadeleşmiş İfadenin Limitini Hesaplama

Artık belirsizlik ortadan kalktığı için, $x=1$ değerini sadeleşmiş ifade olan $x^2+x+1$ yerine koyarak limiti kolayca hesaplayabiliriz:

$1^2+1+1 = 1+1+1 = 3$

• (Ek Bilgi) Alternatif Yöntem: L'Hôpital Kuralı

Eğer $\frac{0}{0}$ veya $\frac{\infty}{\infty}$ belirsizliği varsa, L'Hôpital kuralını da kullanabiliriz. Bu kurala göre, payın ve paydanın ayrı ayrı türevlerini alıp limiti tekrar hesaplayabiliriz.

Payın türevi: $\frac{d}{dx}(x^3-1) = 3x^2$

Paydanın türevi: $\frac{d}{dx}(x-1) = 1$

Şimdi bu türevleri limit ifadesine yerleştirelim:

$\lim_{x \to 1} \frac{3x^2}{1}$

$x=1$ değerini yerine koyarsak:

$\frac{3(1)^2}{1} = \frac{3}{1} = 3$

Gördüğünüz gibi, her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık. Bu da çözümümüzün doğruluğunu teyit eder.

Cevap C seçeneğidir.